Parameter einer Gerade bestimmen, so das er Parabel berührt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gleichung der geraden g: y=2ax+1

Bestimmen sie den Parameter a so dass die Gerade g die Parabel mit der Gleichung y= - x²+4x berührt

Endergebnis: a1=1 a2=2

Problem/Ansatz:

Gibt es jemanden der mir den Lösungsweg erklären kann?

Answer 1

Setze jeweils die Funktionen und deren erste Ableitungen gleich:

I: 2ax +1 = -x^2 + 4x

II: 2a = -2x + 4

⇒ a = 1 ∨  a = 3

Comments

okay dem 1. schritt kann ich noch folgen aber danach nicht mehr

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Du kannst zum Beispiel die zweite Gleichung umformen:

$$2a=-2x+4\\ a=2-x\\ $$

In der ersten Gleichung ersetzt du a durch 2 - x

$$2x(2-x)+1=-x^2+4x\\ 4x-2x^2+1=-x^2+4x\\ -x^2+1=0\\ x^2=1\\ x = 1\quad ∨\quad x = -1\\ a=2-x\\ ⇒\\ a=2-1=1\\a=2+1=3$$

Answer 2

Setze die Funktionen gleich

-x^2 + 4x = 2ax + 1

x^2 + (2a - 4)x + 1 = 0

Es gibt einen Berührpunkt, wenn die Diskriminante (b^2 - 4ac) gleich Null ist.

(2a - 4)^2 - 4 = 0 --> a = 1 ∨ a = 3