Welche Vektoraxiome sind erfüllt?

Question

Ich soll R² mit den Operationen

(x,y) ⊕ (x′,y′) = (x+x′,0)

λ⊗ (x,y) = (λx,0)

betachten und herausfinden, welche Vektorraumaxiome erfüllt sind.

Die Vektorraumaxiome aind ja (für λ,μ aus Körper K und a,b aus Vektorraum V):

(1) 1⋅ a→= a→

(2) (λ⋅μ) ⋅ a→= λ⋅ (μ⋅a→)

(3) λ⋅(a→+b→) = λ⋅a→+ λ⋅b→

(4) (λ+μ) ⋅ a→= λ⋅a→+ μ⋅a→

Ich weiß aber nicht genau, wie ich herausfinden soll, welche Axiome für diese speziellen Operationen erfüllt sind, bzw. wie man das dann schön zeigen kann.

Comments

Du hast jetzt nur die Axiome der Multiplikation mit einem Skalar aufgezählt. Fehlen noch die für die Vektoraddition.

Setz doch mal bei (1) z.B. für a einen Vektor ein und multipliziere wie definiert:

Es soll 1 * a = a sein.

Wenn a = (x,y) ist, ist 1 * a = 1 * (x,y) = (1*x, 0). Und (1*x,0) ist nicht gleich (x,y), so wie es sein sollte. Also ist dieses Axiom nicht erfüllt.

Bei den anderen kannst du es genauso machen. Führe die Multiplikation und Vektoraddition wie definiert aus und gucke, ob das rauskommt, was laut Axiom rauskommen sollte oder nicht.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Um zu prüfen, welche Vektorraumaxiome für \(\mathbb{R}^2\) mit den gegebenen Operationen
\( (x,y) \oplus (x',y') = (x+x',0) \)
und
\( \lambda \otimes (x,y) = (\lambda x,0) \)
erfüllt sind, gehen wir jedes Axiom durch und überprüfen seine Gültigkeit unter den angegebenen Operationen.

Axiom 1: \(1\cdot \vec{a} = \vec{a}\)

Für ein beliebiges Vektorelement \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), verwenden wir die Skalarmultiplikation mit \(1\):
\( 1 \otimes (x,y) = (1\cdot x, 0) = (x,0) \)
Das Ergebnis ist \((x,0)\), nicht \((x,y)\), was bedeutet, dass dieses Axiom unter der gegebenen Skalarmultiplikation nicht erfüllt ist, wenn \(y \neq 0\).

Axiom 2: \((\lambda \cdot \mu) \cdot \vec{a} = \lambda \cdot (\mu \cdot \vec{a})\)

Um dieses Axiom zu testen, wählen wir zwei Skalare \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) (den zugrunde liegenden Körper) und einen Vektor \((x,y) \in \mathbb{R}^2\). Zuerst berechnen wir \((\lambda \mu) \otimes (x,y)\):
\( (\lambda \mu) \otimes (x,y) = ((\lambda \mu) x, 0) \)
und dann \(\lambda \otimes (\mu \otimes (x,y))\):
\( \lambda \otimes (\mu \otimes (x,y)) = \lambda \otimes (\mu x,0) = (\lambda(\mu x), 0) = ((\lambda \mu) x, 0) \)
Da beide Seiten zu ((\(\lambda \mu) x, 0\) übereinstimmen, ist dieses Axiom erfüllt.

Axiom 3: \(\lambda \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \lambda \cdot \vec{a} + \lambda \cdot \vec{b}\)

Betrachte zwei Vektoren \((x,y), (x',y') \in \mathbb{R}^2\) und skaliere \(\lambda\). Die linke Seite ergibt:
\( \lambda \otimes ((x,y) \oplus (x',y')) = \lambda \otimes (x+x', 0) = (\lambda(x+x'), 0) \)
Die rechte Seite ist:
\( \lambda \otimes (x,y) + \lambda \otimes (x',y') = (\lambda x, 0) \oplus (\lambda x', 0) = (\lambda x + \lambda x', 0) \)
Da \((\lambda(x+x'), 0)\) = \((\lambda x + \lambda x', 0)\), ist dieses Axiom ebenfalls erfüllt.

Axiom 4: \((\lambda + \mu) \cdot \vec{a} = \lambda \cdot \vec{a} + \mu \cdot \vec{a}\)

Für ein beliebiges Element \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), berechnen wir die linke Seite:
\( (\lambda + \mu) \otimes (x,y) = ((\lambda + \mu) x, 0) \)
Und die rechte Seite:
\( \lambda \otimes (x,y) \oplus \mu \otimes (x,y) = (\lambda x, 0) \oplus (\mu x, 0) = (\lambda x + \mu x, 0) \)
Da beide Seiten \(((\lambda + \mu) x, 0)\) sind, ist auch dieses Axiom erfüllt.

Zusammenfassung:

Unter den gegebenen Operationen und für allgemeine Werte \(x, y, \lambda, \mu\):
- Axiom 1 ist nicht erfüllt, es sei denn, \(y = 0\).
- Axiom 2, 3, und 4 sind erfüllt.

Die spezifischen Operationen definieren daher keine Vektorraumstruktur auf \(\mathbb{R}^2\) im herkömmlichen Sinne, da nicht alle Grundaxiome erfüllt sind, insbesondere wenn \(y \neq 0\).