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1. Eine reelle Folge, die nicht beschränkt ist, ist auch nicht konvergent.
Die gestellte Aufgabe scheint ein wenig Missverständnis hervorgerufen zu haben. Der behauptete Satz besagt, dass wenn eine Folge \( \{a_n\} \) von reellen Zahlen nicht beschränkt ist, sie nicht konvergieren kann. Dies gilt, da eine konvergente Folge notwendigerweise beschränkt sein muss. Hier ist jedoch eine direkte Erklärung und Beweisführung:
1. Angenommen, eine Folge \( \{a_n\} \) konvergiert gegen einen Grenzwert \( L \).
2. Dann gibt es für jedes \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \), so dass für alle \( n > N \) gilt: \( |a_n - L| < \varepsilon \).
3. Wählen wir \( \varepsilon = 1 \), so existiert ein \( N \), so dass für alle \( n > N \) gilt, dass \( a_n \) im Intervall \( (L-1, L+1) \) liegt.
4. Daraus folgt, dass die Folge \( \{a_n\} \) jenseits des Indexes \( N \) im Intervall \( [L-1, L+1] \) eingeschlossen ist und damit beschränkt.
5. Dieser Widerspruch zeigt, dass die ursprüngliche Annahme falsch ist – eine nicht beschränkte Folge kann nicht konvergent sein.
Zu deiner Bemerkung:
Deine Verwirrung bezieht sich darauf, dass eine beschränkte Folge nicht notwendigerweise konvergent sein muss. Das ist korrekt und nicht das, was die Frage oder der Satz behaupten. Beispielsweise ist die Folge \( (-1)^n \) beschränkt, da sie nur die Werte -1 und 1 annimmt, aber sie konvergiert nicht.
2. Eine reelle Folge, die konvergent ist, ist auch beschränkt.
Um diesen Satz zu beweisen, verwenden wir eine direkte Beweisführung:
1. Angenommen, \( \{a_n\} \) konvergiert gegen \( L \).
2. Gemäß der Definition der Konvergenz gibt es zu jedem \( \varepsilon > 0 \) ein \( N \), so dass für alle \( n > N \) gilt: \( |a_n - L| < \varepsilon \). Wählen wir \( \varepsilon = 1 \), so zeigt dies, dass alle \( a_n \) für \( n > N \) innerhalb des Intervalls \( (L-1, L+1) \) liegen.
3. Dies bedeutet, dass abgesehen von einer endlichen Anzahl von Gliedern der Folge (nämlich jene für \( n \leq N \)), alle anderen Glieder der Folge durch \( L-1 \) und \( L+1 \) beschränkt sind.
4. Die endliche Anzahl von Gliedern \( a_1, a_2, \ldots, a_N \) hat ein Maximum und ein Minimum, da jede endliche Menge von reellen Zahlen beschränkt ist.
5. Daraus folgt, dass die gesamte Folge beschränkt ist, da sowohl die endliche Anzahl der ersten \( N \) Terme als auch die unendlich vielen Terme danach innerhalb gewisser Grenzen liegen.
Zu deinem Beispiel \( a(n) = \frac{1}{n} \):
Das gegebene Beispiel \( a(n) = \frac{1}{n} \) zeigt eine konvergente Folge, die gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Es demonstriert, dass jede konvergente Folge beschränkt sein muss, da hier offensichtlich alle Folgeglieder positive Zahlen sind und durch die größte Zahl in der Folge (in diesem Fall \( a(1) = 1 \)) nach oben beschränkt sind und durch 0 nach unten beschränkt sind. Aber beachte, dass dies nur ein Beispiel ist, das die Wahrheit der Aussage illustriert, und nicht als vollständiger Beweis der Aussage dient.
