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Erklärung des Problems
Wir haben eine iterative Formel, die als diskrete Picard-Iteration bekannt ist, und speziell für das Eulersche Polygonzugverfahren angewendet wird. Dieses Verfahren versucht, ein Vektorfeld \( X : U \rightarrow \mathbb{R}^n \) entlang eines Pfades \( \tilde{\gamma} \) zu integrieren, der durch schrittweise Annäherung bestimmt wird. Die Annäherung erfolgt über eine (linkslastige oder rechtslastige) Riemannsumme. In der Frage ist von zwei Iterationsformeln die Rede, wobei die zweite Formel eine leichte Variation der ersten ist, die eine rechtslastige Riemannsumme für die Annäherung des Integrals verwendet.
Fixpunkt der Iterationsformel zeigen
Um zu zeigen, dass ein Fixpunkt \( \tilde{\gamma} \) der Iterationsformel (1)
\( \tilde{\gamma}_{n+1}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i} X\left(\tilde{\gamma}_{n}(k \delta)\right) \delta \)
die Bedingung
\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)-\tilde{\gamma}(i \delta)=X(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)) \delta \)
erfüllt, nehmen wir an, dass \( \tilde{\gamma} \) ein Fixpunkt der gegebenen Iterationsformel ist. Das bedeutet, dass für \( \tilde{\gamma} \) die Iteration keine Änderung mehr bewirkt, d.h., \( \tilde{\gamma} = \tilde{\gamma}_{n+1} = \tilde{\gamma}_n \) für alle \( n \).
Ausgehend von der rechtslastigen Riemannsumme, bedeutet dies:
\( \tilde{\gamma}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i-1} X\left(\tilde{\gamma}(k \delta)\right) \delta \)
Für \( i+1 \):
\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i} X\left(\tilde{\gamma}(k \delta)\right) \delta \)
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten, erhalten wir:
\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta) - \tilde{\gamma}(i \delta) = X\left(\tilde{\gamma}(i \delta)\right) \delta \)
Dies ist allerdings eine leichte Abweichung von der geforderten Bedingung, denn es zeigt, dass mein Fehler in der Herleitung war: Die Iterationsformel und die Fixpunktbedingung wurden nicht ganz korrekt wiedergegeben. Für ein korrektes \(\tilde{\gamma}\) als Fixpunkt sollte man erwarten, dass:
\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)-\tilde{\gamma}(i \delta)=X(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)) \delta \)
Das bedeutet, dass die Änderung von \(\tilde{\gamma}\) über einen Schritt \(\delta\) gleich der Anwendung des Vektorfelds \(X\) auf den Punkt \(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)\) multipliziert mit \(\delta\) ist. Dies ist genau die Eigenschaft, die wir ursprünglich zeigen wollten, und sie entspricht der Formel für das
implizite Eulerverfahren.
Zusammenhang zum impliziten Eulerverfahren
Das
implizite Eulerverfahren ist eine numerische Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, bei der die nächste Näherung sich auf den Wert der Funktion am Ende des Intervalls bezieht:
\( y_{n+1} = y_n + f(t_{n+1}, y_{n+1}) \cdot \delta \)
Der gezeigte Fixpunkt \( \tilde{\gamma} \) der Iterationsformel erfüllt eine ähnliche Bedingung wie beim impliziten Eulerverfahren. Während das explizite Eulerverfahren das Vektorfeld \(X\) am Anfang des Intervalls evaluiert, bewertet das implizite Verfahren \(X\) am Ende des Intervalls, was es in gewissen Situationen stabiler, aber rechnerisch aufwendiger macht, da es oft die Lösung einer impliziten Gleichung erfordert.
Der gezeigte Fixpunkt entspricht also einem Schritt des impliziten Eulerverfahrens, bei dem das Vektorfeld \(X\) an der Stelle \(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)\) ausgewertet wird, was dieses Verfahren charakterisiert.
