0 Daumen
341 Aufrufe

Aufgabe:

Sei \( X: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) ein Vektorfeld, \( \mathbf{u}_{0} \in U \) ein Punkt, und \( \delta>0 \) eine Schrittweite. In der Vorlesung haben wir gesehen, wie sich das Eulersche Polygonzugverfahren als Fixpunkt der diskreten Picard-Iteration

\( \tilde{\gamma}_{n+1}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=0}^{i-1} X\left(\tilde{\gamma}_{n}(k \delta)\right) \delta \)

auffassen läßt. Der Summenterm ist dabei die Näherung eines Integrals durch eine (linkslastige) Riemannsumme. Das Integral läßt sich aber mit gleichem Recht auch durch eine rechtslastige Riemannsumme annähern. Das führt auf die Iterationsformel:

\( \tilde{\gamma}_{n+1}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i} X\left(\tilde{\gamma}_{n}(k \delta)\right) \delta \)

Zeige: Ein Fixpunkt \( \tilde{\gamma} \) der Iterationsformel (1) erfüllt die Bedingung:

\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)-\tilde{\gamma}(i \delta)=X(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)) \delta \)

Schlage nach, was das implizite Eulerverfahren ist, und stelle einen Zusammenhang her.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Antwort mit KI erzeugt

Erklärung des Problems

Wir haben eine iterative Formel, die als diskrete Picard-Iteration bekannt ist, und speziell für das Eulersche Polygonzugverfahren angewendet wird. Dieses Verfahren versucht, ein Vektorfeld \( X : U \rightarrow \mathbb{R}^n \) entlang eines Pfades \( \tilde{\gamma} \) zu integrieren, der durch schrittweise Annäherung bestimmt wird. Die Annäherung erfolgt über eine (linkslastige oder rechtslastige) Riemannsumme. In der Frage ist von zwei Iterationsformeln die Rede, wobei die zweite Formel eine leichte Variation der ersten ist, die eine rechtslastige Riemannsumme für die Annäherung des Integrals verwendet.

Fixpunkt der Iterationsformel zeigen

Um zu zeigen, dass ein Fixpunkt \( \tilde{\gamma} \) der Iterationsformel (1)

\( \tilde{\gamma}_{n+1}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i} X\left(\tilde{\gamma}_{n}(k \delta)\right) \delta \)

die Bedingung

\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)-\tilde{\gamma}(i \delta)=X(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)) \delta \)

erfüllt, nehmen wir an, dass \( \tilde{\gamma} \) ein Fixpunkt der gegebenen Iterationsformel ist. Das bedeutet, dass für \( \tilde{\gamma} \) die Iteration keine Änderung mehr bewirkt, d.h., \( \tilde{\gamma} = \tilde{\gamma}_{n+1} = \tilde{\gamma}_n \) für alle \( n \).

Ausgehend von der rechtslastigen Riemannsumme, bedeutet dies:

\( \tilde{\gamma}(i \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i-1} X\left(\tilde{\gamma}(k \delta)\right) \delta \)

Für \( i+1 \):

\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)=\mathbf{u}_{0}+\sum \limits_{k=1}^{i} X\left(\tilde{\gamma}(k \delta)\right) \delta \)

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten, erhalten wir:

\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta) - \tilde{\gamma}(i \delta) = X\left(\tilde{\gamma}(i \delta)\right) \delta \)

Dies ist allerdings eine leichte Abweichung von der geforderten Bedingung, denn es zeigt, dass mein Fehler in der Herleitung war: Die Iterationsformel und die Fixpunktbedingung wurden nicht ganz korrekt wiedergegeben. Für ein korrektes \(\tilde{\gamma}\) als Fixpunkt sollte man erwarten, dass:

\( \tilde{\gamma}((i+1) \delta)-\tilde{\gamma}(i \delta)=X(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)) \delta \)

Das bedeutet, dass die Änderung von \(\tilde{\gamma}\) über einen Schritt \(\delta\) gleich der Anwendung des Vektorfelds \(X\) auf den Punkt \(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)\) multipliziert mit \(\delta\) ist. Dies ist genau die Eigenschaft, die wir ursprünglich zeigen wollten, und sie entspricht der Formel für das implizite Eulerverfahren.

Zusammenhang zum impliziten Eulerverfahren

Das implizite Eulerverfahren ist eine numerische Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, bei der die nächste Näherung sich auf den Wert der Funktion am Ende des Intervalls bezieht:

\( y_{n+1} = y_n + f(t_{n+1}, y_{n+1}) \cdot \delta \)

Der gezeigte Fixpunkt \( \tilde{\gamma} \) der Iterationsformel erfüllt eine ähnliche Bedingung wie beim impliziten Eulerverfahren. Während das explizite Eulerverfahren das Vektorfeld \(X\) am Anfang des Intervalls evaluiert, bewertet das implizite Verfahren \(X\) am Ende des Intervalls, was es in gewissen Situationen stabiler, aber rechnerisch aufwendiger macht, da es oft die Lösung einer impliziten Gleichung erfordert.

Der gezeigte Fixpunkt entspricht also einem Schritt des impliziten Eulerverfahrens, bei dem das Vektorfeld \(X\) an der Stelle \(\tilde{\gamma}((i+1) \delta)\) ausgewertet wird, was dieses Verfahren charakterisiert.
Avatar von 3,5 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community