Bestimmen sie den Funktionsterm f(x) der ganz rationalen Funktion

Question

 Aufgabe:

Der Graph Gf einer ganz rationalen Funktion dritten Grades f mit der Definitionsmenge add=IR berührt die x-Achse bei x=-1 und schneidet die y-Achse bet y=2. Die Tangente an den Graphen Gf für x=2 hat die Steigung m= -9

Problem/Ansatz:

Bestimmungsgleichungen und das Lineare Gleichungssystem lösen

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Das lineare Gleichungssystem lösen

Stichworte: lineare-gleichungssysteme,steckbriefaufgabe

Aufgabe:

Lösen sie das LGS mit folgenden Gleichungen Schritt für Schritt

-a+b-c = 0

3a-2b+c=0

d=2

12a+4b+c = -9

Answer 1

Funktion dritten Grades f mit der Definitionsmenge add=IR

f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d

berührt die x-Achse bei x=-1

f(-1) = 0 und  f ' (-1) = 0

und schneidet die y-Achse bet y=2.

f(0) = 2

 Die Tangente an den Graphen Gf für x=2 hat die Steigung m= -9

f ' ( 2) = - 9

gibt dann

-a + b - c + d = 0   und  3a - 2b + c = 0

und

   d=2

und   12a + 4b + c =  -9

also das lin. Gl.syst.

-a + b - c + d = 0   und  3a - 2b + c = 0

   d=2 und   12a + 4b + c =  -9

bzw.

-a + b - c = -2  
 3a - 2b + c = 0    
12a + 4b + c =  -9

also  a=-1  und b=0 und c= 3

f(x) = - x^3 + 3x + 2

sieht so aus :

~plot~  - x^3 + 3x + 2 ;18-9x ~plot~

Comments

Danke für die hilfreiche Antwort, doch wie berechne ich das LGS damit ich auf a, b und c komme ?

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doch wie berechne ich das LGS damit ich auf a, b und c komme ?

a + b - c = -2
3a - 2b + c = 0 
12a + 4b + c =  -9

du machst aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Dann 1 Gleichung mit 1 Unbekannten

a + b - c = -2  | *3
3a - 2b + c = 0   

3a + 3b - 3c = -6 
3a - 2b + c = 0   | abziehen
---------------------
3b + 2b - 3c - c = -6
5b - 4c = -6
----------------------------------------

3a - 2b + c = 0    | * 4
12a + 4b + c =  -9

12a - 8b + 4c = 0
12a + 4b + c = -9 | abziehen
---------------------
-8b - 4b + 4c - c = 0 + 9
-12b + 3c = 9
-----------------------------------------
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
5b - 4c = -6   | * 12
-12b + 3c = 9 | * 5

60b - 48c = -72 
-60b + 15c = 45  | addieren
--------------------
-48c + 15c =-72 + 45
-33c = -27
c = 9/11

5b - 4c = -6
5b - 4*9/11 = -6 
b = - 6 / 10

c = - 7 /11

Die Berechnung ist richtig.
Die Eingangsgleichungen sind dann falsch.

Frag nach bis alles klar ist.

---

a + b - c = -2

Du hast gleich beim Abtippen ein Vorzeichen vergessen.

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Danke für den Fehlerhinweis
nicht
a + b - c = -2
sondern
- a + b - c = -2

@Fragesteller
Schaffst du die Korrekturrechnung ?
Das wäre auch für dich eine gute Übung.

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Danke, werde ich später versuchen

Ich werde Bescheid geben ob ich es dann verstanden hab

Answer 2

Benutze die Hilfreiche Seite

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

für diese und ähnliche Aufgaben.

Comments

Gleichungssystem lösen

-a + b - c = -2
3·a - 2·b + c = 0
12·a + 4·b + c = -9

II + I ; III + I

2·a - b = -2
11·a + 5·b = -11

II + 5·I

21·a = -21 → a = -1

2·(-1) - b = -2 → b = 0

-(-1) + (0) - c = -2 → c = 3

Answer 3

Addiere 1. und 2.

Dann 4. - 1.

Damit bekommst du a und b.

Answer 4

1. Eine Gleichung nach einer Variable umformen.
2. In alle anderen Gleichungen einsetzen.
3. Zurück zu 1. falls noch nicht alle Werte bekannt sind.
   

Achte darauf, dass du bei Punkt 1. jedes mal eine andere Gleichung umformst.

Beispiel.

\(\begin{aligned} -a+b-c & =0\\ 3a-2b+c & =0\\ d & =2\\ 12a+4b+c & =-9 \end{aligned}\)

Erste Gleichung nach b umformen:

\(\begin{aligned} b & =a+c\\ 3a-2b+c & =0\\ d & =2\\ 12a+4b+c & =-9 \end{aligned}\)

In alle anderen Gleichungen einsetzen:

\(\begin{aligned} b & =a+c\\ 3a-2(a+c)+c & =0\\ d & =2\\ 12a+4(a+c)+c & =-9 \end{aligned}\)

Zweite Gleichung nach a umformen:

\begin{aligned}
b & =(a+c)\\
a & =c\\
d & =2\\
12a+4(a+c)+c & =-9
\end{aligned}

In alle anderen Gleichungen einsetzen:

\begin{aligned}
b & =(c+c)\\
a & =c\\
d & =2\\
12c+4(c+c)+c & =-9
\end{aligned}

Und so weiter.