lineare Gleichungssysteme mit dem Gaussschen Eliminationsverfahren

Question

ich muss hier  Gaussschen Eliminationsverfah-
ren benutzen und eine Parameterdarstellung der Losung bestimen.

-6x₁ + 6x₂ + 2x₃ - 2x₄ = 2
-9x₁ + 8x₂ + 3x₃- 2x₄ = 3
-3x₁ + 2x₂ + x₃ = 1
-15x₁ + 14x₂ + 5x₃ - 4x₄ = 5

ich bin in einen punkt geblieben und gehe nicht weiter :

-6 6 2 -2|2
-9 8 3 -2|3
-3 2 1 |1
-15 14 5 -4|5

hier habe ich 3 zeile mit (-5) multipliziert und mit 4 zeile addiert(III*(-5)+IV):
-6 6 2 -2| 2
-9 8 3 -2|3
-3 2 1 0|1
0 4 0 -4|0

dann habe ich mit die 1 zeile mit 3 addiert und mit 3 zeile addiert(I+3+III):
-6 6 2 -2|2
-9 8 3 -2|3
0 11 6 -1|6
0 4 0 -4|0

danach 1 zeile mit 15 addiert und mit 2 zeile substrahiert (I+15-II):

-6 6 2 -2|2
0 29 20 15|20
0 11 6 -1|6
0 4 0 -4|0

und dann gehe ich nicht weiter. kann mir jemand helfen ?
ich verstehe nicht mit wasfinde  ich genau die zahl,die ich  multiplizieren, addieren substrahieren u.s.w kann damit ich eine 0 kriege ?

Grüße MEL

PS: (wenn mir jemand gleich antworten kann, wäre es sehr schön, weil ich das für morgen brauche)
 

Answer 1

- 6·a + 6·b + 2·c - 2·d = 2
- 9·a + 8·b + 3·c - 2·d = 3
- 3·a + 2·b + c = 1
- 15·a + 14·b + 5·c - 4·d = 5

Da in der Gleichung III schon das d fehlt, ist es günstig das d auch noch in der II und IV Gleichung zu eliminieren.

I - II, 2*I - IV

3·a - 2·b - c = -1
3·a - 2·b - c = -1
- 3·a + 2·b + c = 1

Wir sehen das alle drei Gleichungen linear abhängig sind. Damit kann ich zwei streichen und bekomme 2 Freiheitsgrade. Ich nehme hier mal a und b als Freiheitsgrad. und c und d als abhängige Variablen:

- 3·a + 2·b + c = 1
c = 3·a - 2·b + 1

- 6·a + 6·b + 2·c - 2·d = 2
- 6·a + 6·b + 2·(3·a - 2·b + 1) - 2·d = 2
d = b

Damit lautet der Lösungsvektor: [a, b, 3·a - 2·b + 1, b]

Comments

Wir sehen das alle drei Gleichungen linear abhängig sind. Alle drei? Warum? Ich sehe nur, dass die ersten beiden linear abhängig sind. Wie soll die dritte daraus hervorgehen?

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Weißt du was linear abhängig bedeutet? Multiplizier mal die dritte Gleichung mit -1.

Answer 2

hallo!

die erlaubten elementaren zeilenumformungen sind:

1) zeilen vertauschen
2) eine zeile mit einer zahl ungleich null multiplizieren
3) das x-fache einer zeile zu einer anderen addieren

du darfst nicht einfach zu einer gleichung eine zahl addieren.

x = 3

2x = 6

2 | 6      +4
6 | 10

6x = 10 mit x = 3 ?
nein.

:-)

Comments

ohh verstehe ich nicht :(
wie kann ich denn genau, was ich brauche finden ?

Grüße

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was verstehst du denn daran nicht? habt ihr die regeln nicht durchgenommen, die erklären, was man mit den zeilen eines gleichungssystems machen darf?

bis hier ist es noch ok:

-6 6 2 -2| 2
-9 8 3 -2|3
-3 2 1 0|1
0 4 0 -4|0

danach leider nicht mehr.