Aloha :)
a) Bestimmung der Winkel:
Aus dem Cosinus-Satz folgt:$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\;\Rightarrow\;\cos\gamma=\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}=\frac{6^2-4^2-5^2}{-2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{8}\;\Rightarrow\;\gamma=82,82^o$$Aus dem Sinussatz folgt weiter:
$$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\gamma}{c}\;\Rightarrow\;\sin\alpha=\frac{a}{c}\,\sin\gamma=\frac{4}{6}\sin(82,82^o)\;\Rightarrow\;\alpha=41,41^o$$Offensichtlich ist \(\gamma=2\alpha\).
b) Flächeninhalt:
Mit \(a\) als Grundseite und \(b\sin\gamma\) als Höhe ist$$F=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5\cdot\sin(82,82^o)=9,92$$
c) Radius des Innkreises:
Besitzt ein Polygon einen Innkreis, so gilt für dessen Radius:$$r=\frac{2\cdot\text{Fläche}}{\text{Umfang}}=\frac{2F}{a+b+c}=\frac{2\cdot9,92}{4+5+6}=1,32$$Als "Gedankenstütze" für diese Formel merke ich mir den Kreis als Extremfall: \(r=\frac{2\cdot\pi r^2}{2\pi r}\).
