Dreieck, Fläche Winkel

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass im Dreieck mit den Seiten a = 4, b = 5 und c = 6 ein Winkel exakt doppelt so groß ist wie einer der beiden anderen Winkel.Berechnen Sie außerdem den Flächeninhalt dieses Dreiecks, sowie den Radius seines Inkreises

Problem/Ansatz: Ich bin bei solchen Aufgaben total schlecht deshalb hoffe ich auf eure Hilfe fals möglich Lösung mit nachvollziehbaren Rechenweg.

Answer 1

Mit dem cos-Satz bekommst du

cos(γ) = 1/8  und cos(α)=3/4

mit der Formel  cos(2x) = 2*cos(x)² - 1

zeigst du:   γ = 2α.

Aus  γ/2 = α und   cos(α)=3/4 bekommst du

erst mal sin(α) = (√7 )   / 4  und damit tan(   γ/2 ) =  (√7 )   / 4

und kannst den Halbwinkelsatz anwenden:

tan(   γ/2 ) =    ρ / ( s - c)  wobei s = halber Dreiecksumfang ist.

also    (√7 )   / 4   =    ρ / 1,5

also   ρ =   (√7 )   / 2

Und für den Flächeninhalt am besten A = 0,5*b*c*sin(α) = 15 * (√7 )   / 4  .

Answer 2

Aloha :)

a) Bestimmung der Winkel:

Aus dem Cosinus-Satz folgt:$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\;\Rightarrow\;\cos\gamma=\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}=\frac{6^2-4^2-5^2}{-2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{8}\;\Rightarrow\;\gamma=82,82^o$$Aus dem Sinussatz folgt weiter:

$$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\gamma}{c}\;\Rightarrow\;\sin\alpha=\frac{a}{c}\,\sin\gamma=\frac{4}{6}\sin(82,82^o)\;\Rightarrow\;\alpha=41,41^o$$Offensichtlich ist $\gamma=2\alpha$.

b) Flächeninhalt:

Mit $a$ als Grundseite und $b\sin\gamma$ als Höhe ist$$F=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot4\cdot5\cdot\sin(82,82^o)=9,92$$

c) Radius des Innkreises:

Besitzt ein Polygon einen Innkreis, so gilt für dessen Radius:$$r=\frac{2\cdot\text{Fläche}}{\text{Umfang}}=\frac{2F}{a+b+c}=\frac{2\cdot9,92}{4+5+6}=1,32$$Als "Gedankenstütze" für diese Formel merke ich mir den Kreis als Extremfall: $r=\frac{2\cdot\pi r^2}{2\pi r}$.

Comments

Jetzt kann man nur hoffen, dass der Fragesteller kompetent genug ist, um sich bei der Entscheidung zwischen den beiden vorgebenen Lösungswegen, für DEN EINEN zu entscheiden, der das Problem adäquat behandelt.

Ich habe kein Verständnis dafür, dass auf eine bereits vorliegende richtige Lösung für "Zeigen Sie, dass ... ein Winkel exakt doppelt so groß ist wie einer der beiden anderen Winkel" mit einer zusätzlichen Wischiwaschi-Pseudolösung reagiert wird, bei der zwei Winkelgrößen mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen berechnet werden.

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Die gepostete Lösung war nicht komplett und daher auch nicht richtig, der Radius des Innkreis fehlte. Im Übrigen habe ich auch keine Wischiwaschi-Lösung gepostet, sondern der Rechenweg kann ebenso mit exakten Werten berechnet und nachvollzogen werden.

Ich weiß, dass du eine andere Philosophie von Helfen hast als ich. Diese sei dir auch zugestanden. Aber gestehe du mir dann auch bitte meine Art des Helfens zu. Wenn du das nicht kannst, steht es dir frei, meine Postings zu ignorieren.

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Ich hätte ja nichts gesagt, wenn du als erstes eine Lösung gepostet hättest.

Aber versetze dich mal in die Lage des Fragestellers. Der hat vielleicht schon mal mitgekriegt, dass du hier immer an der Spitze der Punktliste auftauchst, und dann glaubt er vielleicht, dass deine Näherungswerte der "Beweis" für exakt den doppelten Winkel sind und verwirft den exakten Beweis von mathef.

Wenn man schon auf eine fertige Lösung noch einen zweiten Lösungsweg nachschiebt, dann darf der gern anders oder besser sein als das Original, aber bitte nicht falscher.