Vektor, Winkel, Fläche, Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Vektor a = 4

Vektor b = 9

Winkel y = 150°

Gesucht ist der Fläche des Dreiecks, dass durch die vektoren b und 2a+b aufgespannt wird.

Problem/Ansatz:

Kann mir einer den Lösungsweg verraten?

Comments

ich mein die länge der vektoren (zb. Längevektor a = 4) usw.

Answer 1

Vektor a = 4

Das stimmt nicht. Allenfalls ist die 4 der Betrag des Vektors a. Dann könnte zum Beispiel

        \(\vec{a} = \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\)

sein. Sei \(B\) der Punkt \((4|0)\).

Vektor b = 9

Das stimmt nicht. Allenfalls ist die 9 der Betrag des Vektors b.

Winkel y = 150°

Ich vermute es handelt sich um den Winkel \(\gamma\), weil Dreiecke üblicherweise keinen mit \(y\) bezeichneten Winkel haben.

Zeichne einen Strahl vom Ursprung aus, der mit dem positivne Teil der \(x\)-Achse einen Winkel von 150° bildet. Markiere auf dem Strahl den Punkt \(A\), der 9 Einheiten vom Ursprung entfernt ist. Berechne die Koordinaten von \(A\), z. B. mit Trigonometrie. Dann ist \(\vec{b} = \vec{OA}\).

Fläche des Dreiecks, dass durch die vektoren b und 2a+b

Der ist \(\frac{1}{2}\left|\vec{a}\times(2\vec{a}+\vec{b})\right|\).

Comments

ich mein die länge von vektor a = 4 usw.

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Er meint glaub das die Länge des Vektors a = 4 ist.

Answer 2

Hallo Tom,

eine Skizze sollte auf jedem Fall am Anfang der Aufgabe stehen.

Ich unterstelle, dass 4 und 9 die Längen der Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) sind und \(\gamma\) der Winkel zwischen \(\vec a\) und \(\vec b\) ist (gelb). Dann sähe das so aus:

Gesucht ist dann die Fläche des Dreiecks \(\triangle OQR\) (grün). Und dies ist genau die Hälfte des Parallelogramms \(OPQR\), welches von \(2\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannt wird. Folglich ist die Fläche \(F\) des Dreiecks, welches von den Vektoren \(\vec b = \vec{OR}\) und \(\vec{OQ}=2\vec a + \vec b\) aufgespannt wird:$$F = \frac 12 |2\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin(\gamma) = 4\cdot 9 \cdot \sin(150°) = 18$$Gruß Werner

Comments

Fehlt da nicht noch nach dem 2a das + b?

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Fehlt da nicht noch nach dem 2a das + b?

Nein, da ich ja nicht direkt die Fläche von \(\triangle OQR\) berechne, sondern die Hälfte des Parallelogramms \(OPQR\). Zitat (s.o.):

Und dies ist genau die Hälfte des Parallelogramms \(OPQR\), welches von \(2\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannt wird.

Wobei das das selbe ist. Wenn man es vektoriell rechnet, so ist die Fläche \(F\)  des gesuchten Dreiecks$$F =\frac 12\left|\vec b \times(2\vec a + \vec b) \right|= \frac 12\left| \vec b \times 2\vec a + \underbrace{\vec b \times \vec b}_{=0}\right|$$