Beweis, dass Y eine Zufallsvariable ist.

Question

X sei eine reelwertige Zufallsvariable auf Ω. Definiere Y : Ω → ℝ  durch Y(ω) := X(ω) für |X(ω)| < 1 und Y(ω) := 0 sonst. Zeigen Sie, dass auchz Y eine Zufallsvariable ist

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis, dass Y eine Zufallsvariable ist

Um zu zeigen, dass $Y$ eine Zufallsvariable ist, müssen wir demonstrieren, dass für jedes Intervall $I$ in $\mathbb{R}$, die Menge $\{\omega \in \Omega \ | \ Y(\omega) \in I\}$ ein Ereignis in dem zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ist, d.h., sie gehört zur Sigma-Algebra $\mathcal{F}$. Dies bedeutet, dass das Urbild von $Y$ unter $I$ in der Sigma-Algebra $\mathcal{F}$ liegt.

Betrachten wir die Definition von $Y(\omega)$:

$Y(\omega) := \begin{cases} X(\omega) & \text{für } |X(\omega)| < 1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$

Es gibt zwei Hauptfälle zu untersuchen:

1. Fall: $I$ enthält 0 nicht

In diesem Fall betrachten wir ein Intervall $I$, das vollständig innerhalb von ]-1, 1[ liegt (oder es gibt keine Überlappung, und die Argumentation für den Überlappungsfall ist ähnlich). Die Bedingung $Y(\omega) \in I$ ist gleichbedeutend mit $X(\omega) \in I$ für $|X(\omega)| < 1$, weil, wenn $|X(\omega)| \geq 1$, wird $Y(\omega) = 0$, und es ist klar, dass 0 nicht in $I$ liegt. Da $X$ eine Zufallsvariable ist, ist das Ereignis $\{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \in I\}$ in $\mathcal{F}$.

2. Fall: $I$ enthält 0

Hier müssen wir zeigen, dass die Ereignisse, in denen $Y(\omega) = 0$ (d.h. $|X(\omega)| \geq 1$) oder $Y(\omega) \in I$ (und $|X(\omega)| < 1$) in $\mathcal{F}$ liegen.

- Das Ereignis $Y(\omega) = 0$ ist äquivalent zu $|X(\omega)| \geq 1$, was wiederum äquivalent zu $\omega \in \{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \geq 1\} \cup \{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \leq -1\}$ ist. Da $X(\omega) \geq 1$ und $X(\omega) \leq -1$ Ereignisse in $\mathcal{F}$ definieren (wiederum, weil $X$ eine Zufallsvariable ist), ist deren Vereinigung ebenfalls in $\mathcal{F}$.

- Wenn $I$ 0 enthält und sich erstreckt innerhalb von ]-1, 1[, dann umfasst $Y(\omega) \in I$ alle $\omega$, für die $X(\omega)$ in diesem veränderten Intervall $I$ liegt (das von 0 möglicherweise abgeschnitten wird) sowie $\omega$ für die $Y(\omega)=0$ gilt. Die Argumentation für die Zugehörigkeit dieses Ereignisses zu $\mathcal{F}$ folgt analog wie oben beschrieben, da sowohl $X(\omega)$ als auch die Bedingung $|X(\omega)| \geq 1$ entweder direkt oder durch Komplementbildung auf Ereignisse in $\mathcal{F}$ abbilden.

Daher können wir schlussfolgern, dass für alle Intervalle $I$ in $\mathbb{R}$, die Menge $\{\omega \in \Omega \ | \ Y(\omega) \in I\}$ tatsächlich ein Ereignis in $\mathcal{F}$ ist, und infolgedessen ist $Y$ eine Zufallsvariable.