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Beweis, dass Y eine Zufallsvariable ist
Um zu zeigen, dass \(Y\) eine Zufallsvariable ist, müssen wir demonstrieren, dass für jedes Intervall \(I\) in \(\mathbb{R}\), die Menge \(\{\omega \in \Omega \ | \ Y(\omega) \in I\}\) ein Ereignis in dem zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) ist, d.h., sie gehört zur Sigma-Algebra \(\mathcal{F}\). Dies bedeutet, dass das Urbild von \(Y\) unter \(I\) in der Sigma-Algebra \(\mathcal{F}\) liegt.
Betrachten wir die Definition von \(Y(\omega)\):
\(Y(\omega) :=
\begin{cases}
X(\omega) & \text{für } |X(\omega)| < 1 \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}\)
Es gibt zwei Hauptfälle zu untersuchen:
1.
Fall: \(I\) enthält 0 nicht
In diesem Fall betrachten wir ein Intervall \(I\), das vollständig innerhalb von ]-1, 1[ liegt (oder es gibt keine Überlappung, und die Argumentation für den Überlappungsfall ist ähnlich). Die Bedingung \(Y(\omega) \in I\) ist gleichbedeutend mit \(X(\omega) \in I\) für \(|X(\omega)| < 1\), weil, wenn \(|X(\omega)| \geq 1\), wird \(Y(\omega) = 0\), und es ist klar, dass 0 nicht in \(I\) liegt. Da \(X\) eine Zufallsvariable ist, ist das Ereignis \(\{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \in I\}\) in \(\mathcal{F}\).
2.
Fall: \(I\) enthält 0
Hier müssen wir zeigen, dass die Ereignisse, in denen \(Y(\omega) = 0\) (d.h. \(|X(\omega)| \geq 1\)) oder \(Y(\omega) \in I\) (und \(|X(\omega)| < 1\)) in \(\mathcal{F}\) liegen.
- Das Ereignis \(Y(\omega) = 0\) ist äquivalent zu \(|X(\omega)| \geq 1\), was wiederum äquivalent zu \(\omega \in \{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \geq 1\} \cup \{\omega \in \Omega \ | \ X(\omega) \leq -1\}\) ist. Da \(X(\omega) \geq 1\) und \(X(\omega) \leq -1\) Ereignisse in \(\mathcal{F}\) definieren (wiederum, weil \(X\) eine Zufallsvariable ist), ist deren Vereinigung ebenfalls in \(\mathcal{F}\).
- Wenn \(I\) 0 enthält und sich erstreckt innerhalb von ]-1, 1[, dann umfasst \(Y(\omega) \in I\) alle \(\omega\), für die \(X(\omega)\) in diesem veränderten Intervall \(I\) liegt (das von 0 möglicherweise abgeschnitten wird) sowie \(\omega\) für die \(Y(\omega)=0\) gilt. Die Argumentation für die Zugehörigkeit dieses Ereignisses zu \(\mathcal{F}\) folgt analog wie oben beschrieben, da sowohl \(X(\omega)\) als auch die Bedingung \(|X(\omega)| \geq 1\) entweder direkt oder durch Komplementbildung auf Ereignisse in \(\mathcal{F}\) abbilden.
Daher können wir schlussfolgern, dass für alle Intervalle \(I\) in \(\mathbb{R}\), die Menge \(\{\omega \in \Omega \ | \ Y(\omega) \in I\}\) tatsächlich ein Ereignis in \(\mathcal{F}\) ist, und infolgedessen ist \(Y\) eine Zufallsvariable.
