Aufgabe:
Gegeben ist M={1,2,3,4,5}
Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf Transivität.
1. {(5,2),(3,3),(5,5),(5,1),(4,2)}
2. {(1,3),(1,1),(2,5),(1,4),(4,1)}
3. {(1,3),(3,2),(4,1),(4,5),(5,2)}
4. {(4,2),(3,5),(5,5),(3,4),(2,2)}
Problem/Ansatz:
Nun ist die Transivität gegeben, wenn aus a→b und b→c ⟹ a→c gefolgert werden kann.
Jetzt versteh ich nur nicht, wann ich das so folgern kann und wann, augrund von anderen Beziehungen, nicht.
Zu 1.
(5,2) und (4,2) würde ich mal als a→c und b→c bezeichnen. Das bedeutet ja noch nicht, dass auch a→b gilt? Aber es könnte gelten und damit wäre transitiv noch nicht ausgeschlossen.
Jetzt besteht aber auch noch (5,1), also a→d, woraus man ja eventuell d→c schließen müsste?
An dem Punkt weiß ich dann nicht, wie ich herausfinden kann, ob die Beziehungen so gelten können oder nicht...
Zu 2.
(1,4) und (4,1) seien a→b und b→a, sowie (1,3) dann a→c. Kann ich hieraus nun b→c folgern oder spricht b→a dagegen und hat (1,1), also a→a irgendeine Auswirkung auf die Transivität?
Zu 3.
(4,1), (1,3) und (3,2) kann ich durch a→b, b→c, c→d darstellen. Schon hier hab ich das Problem herauszufinden, ob a→c gefolgert werden kann oder auch b→d oder widerspricht sich das vielleicht?
Hinzu kommt dann noch das auch aus (4,5), (5,2) a→e,e→d eventuell a→d zu folgern ist.
Damit die Transivität erfüllt ist müssten, wenn ich es richtig verstanden habe, alle diese Beziehungen gefolgert werden können. Wie kann ich das jetzt prüfen?
Zu 4.
(3,4), (4,2) seien a→b, b→c und (3,5) a→d. Stört nun a→d die Folgerung von a→c und muss ich daraus auch nochmal b→d folgern können?
Hier ebenfalls die Frage. Haben (5,5) und (2,2) irgendeine Auswirkung?
Zu erwähnen ist vielleicht noch, dass ich die Reflexivität, Symmetrie und Antisymmetrie verstanden habe. Es hängt nur noch an der Transivität.
Ihr seht, ich bin hier noch ziemlich verwirrt. Ich hoffe mir kann jemand helfen endlich klarzustellen, wie ich korrekt vorgehen kann, um die Transitivität zu bestimmen.
Vielen Dank.
