reelle Lösungsmenge der Gleichung angeben

Question

|x-1/2| + |x-1| = 2 - |x|

Bitte einmal die Aufgabe erklären und alle Rechenschritte angeben.

Noch eine Frage zu den Beträgen:

Gibt es in der Aufgabe nur 2 Fälle, also dass alle Beträge entweder als positiv oder als negativ gewertet werden

oder

gibt es so viele Fälle, dass jede Kombination der Fälle durchgespielt ist ?

Bsp. Betrag 1 = negativ, Betrag 2 = negativ, Betrag 3 = negativ

Betrag 1 = negativ, Betrag 2 = negativ, Betrag 3 = positiv

und so weiter ...

Danke schon mal für eure Antworten und Bemühungen :)

Answer 1

Es gibt 4 Fälle:

1. x<0

2. 0≤x<1/2

3. 1/2≤x<1

4. x≥1

Comments

Vielen Dank, aber wie rechnet man dann damit ?

Was setzt man in den verschiedenen Fällen für x ein oder stellt man nur um ?

Answer 2

z.B. x<0: dann sind auch sowohl x-1/2 als auch x-2 kleiner als 0.

Dann ist:|x-1/2| = 1/2 -x und |x-1| = 1-x sowie |x| =-x und in diesem Falle daher

1/2 - x + 1 - x = 2 - (-x)

diese Gleichung hat die erste Teilösung x=-1/6.

In dieser Weise alle Fälle durchrechnen.

Answer 3

|x-1/2| + |x-1| = 2 - |x|

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkte der Betragsfunktion feststellen

x - 1/2 = 0  => x = 1/2
x - 1 = 0  => x = 1
x = 0  => x = 0

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

   a       b               c                 d

<-----|-----------|--------------|--------------->

      0            1/2                 1

- es ergeben sich 4 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

a.) -∞ .. 0
b.) 0 .. 1/2
c.) 1/2 .. 1
d.) 1 .. ∞

Soweit verstanden ?
Frag nach oder sag wann es weitergehten soll.

Comments

gerne weiter, bisher ist es verständlich.

Vielen Dank :)

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Bereich a.) x =  minus ∞ .. 0
|x-1/2| + |x-1| = 2 - |x|
Dafür gilt
|x-1/2| ist negativ also ( x - 1/2) * (-1)
|x-1|  ist negativ also ( x -1 ) * (-1 )
|x| ist negaitiv also ( x ) * ( -1)

Einsetzen
( x - 1/2) * (-1) + ( x -1 ) * (-1 ) = 2 - (x)*(-1)
-x + 1/2  - x + 1 = 2 + x
-3x = 0.5
x = - 0.5 / 3

Zusammen
( minus ∞.<x < 0 ) und ( x = -0.5/3 )
x = -0.5/3

Wieder melden wann es weitergehen soll.

Answer 4

|x - 0.5| + |x - 1| = 2 - |x|

Die Fälle ergeben sich aus den einzelnen Nullstellen der Betragsfunktionen.

Der Betrag wird wie folgt ersetzt

|z| = -(z) für z ≤ 0

|z| = (z) für z ≥ 0

Man beachte das ich hier unüblicherweise den Fall das der Betrag 0 ist, diesen in 2 Fällen behandel.

Fall 1: x ≤ 0

  -(x - 0.5) - (x - 1) = 2 + (x) --> x = - 1/6

Fall 2: 0 ≤ x ≤ 0.5

  -(x - 0.5) - (x - 1) = 2 - (x) --> x = - 1/2 (nicht in der Definitionsmenge für diesen Fall)

Fall 3: 0.5 ≤ x ≤ 1

  (x - 0.5) - (x - 1) = 2 - (x) → x = 3/2 (nicht in der Definitionsmenge für diesen Fall)

Fall 4: x ≥ 1

  (x - 0.5) + (x - 1) = 2 - (x) --> x = 7/6

Comments

danke für deine Antwort, kannst du vielleicht noch einmal erklären, wann man bei den verschiedenen Fällen ein + oder - als Vorzeichen nimmt.

|z| = -(z) für z ≤ 0

|z| = (z) für z ≥ 0 

das habe ich nicht verstanden

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Füll das doch mal mit Beispielen

|-1| = -(-1)

oder

|1| = (1)

Der Betrag von |z| kehrt im Falle wenn z < 0 ist doch einfach das Vorzeichen um. Von Hand könnte man das Vorzeichen ändern indem man mit -1 multipliziert bzw. einfach ein Minus vor den Term setzt.

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habe es verstanden, vielen dank :)

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schreibt man die Antwort dann so:

L = {-1/6 | 7/6} ?

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Lieber mit einem Semikolon

L = {-1/6; 7/6} 

Die Amerikaner verwenden auch das Komme. Das ist aber hier in deutschland ungünstig, weil wir hier das Komma auch als Dezimalkomma benutzen. Der senkrechte Strich wird bei Punkten verwendet um die x, y und z Koordinate voneinander zu trennen.

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Vielen Dank für deine Hilfe :)