Bestimme die reelle Lösungsmenge einer Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimme die reelle Lösungsmenge \( L \) von
\( \left(\begin{array}{lll} -10 & 17 & 70 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=0 \)
in Form von \( L=\{\lambda v+\mu w \mid \lambda, \mu \in \mathbb{R}\} \) mit \( v, w \in \mathbb{R}^{3} \).

Problem/Ansatz:

Hallo habe ein wenig Probleme mit der Aufgabe.

Ich habe folgendes Ergebnis: L = {(-10 17 70) \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) | x,y,z ∈ ℝ : z = x * 7, y = 0}

Bin mir gerade mit der Schreibweise noch sehr unsicher, und stimmt mein Gedankengang überhaupt? Oder bin ich komplett falsch?

Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn du die Matrixgleichung ausmultiplizierst, erhältst du:$$-10x+17y+70z=0$$Diese stellen wir nach einer Variablen um, etwa nach \(x\):$$10x=17y+70z\quad\implies\quad x=1,7y+7z$$Damit kannst du alle Lösungsvektoren angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1,7y+7z\\y\\z\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}1,7\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}7\\0\\1\end{pmatrix}=\frac{y}{10}\begin{pmatrix}17\\10\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}7\\0\\1\end{pmatrix}$$Da \(y,z\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden können, kannst du die Faktoren vor den Vektoren jeweils durch beliebige reelle Zahlen ersetzen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}17\\10\\0\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}7\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \lambda,\mu\in\mathbb R$$

Comments

Hey, vielen dank erstmal :)

Habe ein wenig Probleme das zu verstehen. Könntest du mir evtl. ganz kurz erklären, wie du

\( y\left(\begin{array}{c}1,7 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l}7 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\frac{y}{10}\left(\begin{array}{c}17 \\ 10 \\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{l}7 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

In diesem Teil genau vorgegangen bist? :D

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Ich habe den Faktor \(\frac{1}{10}\) vor den Vektor gezogen:$$y\begin{pmatrix}1,7\\1\\0\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}\frac{17}{10}\\[1ex]\frac{10}{10}\\[0.5ex]0\end{pmatrix}=\frac{y}{10}\begin{pmatrix}17\\10\\0\end{pmatrix}$$