Gleichung hat keine reellen Lösungen

Question

Aufgabe:

Sei \( a \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie: die Gleichung \( z^{2}+2 a z+1=0 \) hat genau dann keine reellen Lösungen, wenn \( |a|<1 \) gilt. Zeigen Sie, dass die Gleichung für \( |a|<1 \) zwei Lösungen \( z, w \in \mathbb{C} \) mit \( w=\bar{z} \) und \( |z|=|w|=1 \) besitzt.

Answer 1

Zum zweiten Teil:

Ist \(z\) die eine komplexe Lösung,

so gilt \(\overline{z}^2+2a\overline{z}+1=\overline{z^2+2az+1}=\overline{0}=0\), da \(a\) reell ist,

d.h. \(w:=\overline{z}\) ist die andere.

Damit ist \(Z^2+2aZ+1=(Z-z)(Z-w)=Z^2-(z+w)Z+zw\),

also \(1=zw=z\overline{z}=\overline{w}w\Rightarrow |z|=|w|=1\).

Answer 2

Den ersten Teil kannst Du mit der Mitternachtsformel zeigen, Diskriminante wird negativ.