Kann mir jemand bei dem beweis helfen?

Question

ich soll per vollständiger Induktion zeigen dass: produkt(k=0 bis) 2^{2^k} +1=2^{2^n+1} -1  ist. ich bin nach dem schema vorgegangen komme am ende aber jedes mal auf 2^{4n+4} -1= 2^{2n+4} -1. Ich weiß nicht was ich falsch gemacht haben soll. Hat jemand für diese Aussage schon einmal den beweis durchgeführt und kann mir weiterhelfen?

Answer 1

Induktionsanfang: $$n = 1,  \prod_{k=0}^{1} (2^{2^k}+1) = 15 = 2^{2^{1+1}}-1$$

Induktionsvermutung: $$\prod_{k=0}^{n} (2^{2^k} + 1) = 2^{2^{n+1}}-1$$

Induktionsschnritt: n -> n+1:

$$\prod_{k=0}^{n+1}(2^{2^k}+1) = \prod_{k=0}^{n}(2^{2^k}+1) \cdot (2^{2^{n+1}}+1)$$

$$= (2^{2^{n+1}}-1) \cdot (2^{2^{n+1}}+1) = (2^{2^{n+1}})^2 - 1 = 2^{2^{n+1} \cdot 2}-1 = 2^{2^{n+2}}-1$$