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Konvergenz und Divergenz von Folgen
a) Untersuchung der Folge \(s_{n}=\frac{(4 n^{2}+n)}{((-2 n^{2})+4)}\)
Um das Konvergenzverhalten der Folge \(s_{n}\) zu analysieren, vereinfachen wir den Ausdruck und betrachten das Verhalten für \(n \to \infty\).
\(s_{n}=\frac{4n^{2}+n}{-2n^{2}+4}\)
Für große \(n\) dominieren die Terme höchster Ordnung in Zähler und Nenner, also \(4n^{2}\) im Zähler und \(-2n^{2}\) im Nenner. Damit können wir die Terme niedrigerer Ordnung vernachlässigen und erhalten eine vereinfachte Darstellung der Folge für sehr große \(n\):
\(s_{n} \approx \frac{4n^{2}}{-2n^{2}} = -2\)
Somit konvergiert die Folge gegen \(-2\).
b) Untersuchung der Folge \(s_{n}=\frac{((-2 n^{2})+n)}{((-5 n)+2)}\)
Auch hier vereinfachen wir den Ausdruck und betrachten das Verhalten für \(n \to \infty\).
\(s_{n}=\frac{-2n^{2}+n}{-5n+2}\)
Für große \(n\) betrachten wir wieder die Terme höchster Ordnung, hier \(-2n^{2}\) im Zähler und \(-5n\) im Nenner. Da der Grad des Polynoms im Zähler höher ist als der Grad des Polynoms im Nenner, steigt der Betrag der Folgenglieder \(s_{n}\) für \(n \to \infty\) über alle Grenzen. Das bedeutet, dass die Folge divergiert.
Da der Koeffizient des führenden Terms im Zähler negativ ist, während der im Nenner positiv ist (wenn man \(-5n\) als \(-5 \cdot n\) betrachtet), divergiert die Folge nach \(-\infty\).
Zusammenfassung:
- Die erste Folge \(s_{n}=\frac{(4 n^{2}+n)}{((-2 n^{2})+4)}\)
konvergiert gegen den Wert \(-2\).
- Die zweite Folge \(s_{n}=\frac{((-2 n^{2})+n)}{((-5 n)+2)}\)
divergiert nach \( -\infty \).
Da keine spezifischen Werte für \( \varepsilon \) gegeben wurden, können keine expliziten Werte für \(N_{\varepsilon}\) oder \(N_{c}\) berechnet werden. Die allgemeinen Konzepte zur Bestimmung von \(N_{\varepsilon}\) für die konvergente Folge und \(N_{c}\) für die divergente Folge basieren darauf, den Ausdruck in der Definition der Konvergenz bzw. Divergenz zu verwenden und für ein gegebenes \( \varepsilon \) mathematische Ungleichungen zu lösen.
