Wie berechne ich meine konvergierte Folge und was ist mein Grenzwert?

Question

Aufgabe:

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir helfen könnte, wie ich mein Grenzwert bestimme und konvergierte Folge herausbekomme?

Vielen Dank im Voraus:)

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) Kürze mit 9^n

b) = ((n+1+1)/(n+1))^(n+1-1)= (1+1/(n+1))^(n+1)* (n+1)/(n+2) = ...

c) 2n^3-1 = n^3(2-1/n^3)

-->((1+1/n^3)^(n^3))^(2-1/n^3) = e^2 für n gg.oo

Answer 2

Aloha :)

$$a_n=\frac{(n^6-4n^3)5^n+n^23^{2n-1}}{(\sqrt n+1)9^{n-2}}=\frac{(n^6-4n^3)5^n+\frac{n^2}{3}(3^2)^n}{\frac{1}{81}(\sqrt n+1)9^n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^3(n^3-4)\left(\frac{5}{9}\right)^n+\frac{n^2}{3}}{\frac{1}{81}(\sqrt n+1)}=\frac{81n^3(n^3-4)\left(\frac{5}{9}\right)^n+27n^2}{\sqrt n+1}$$$$\phantom{a_n}\to\frac{27n^2}{\sqrt n+1}\to\infty$$$$d_n=\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}\to\frac{e}{1}=e$$$$e_n=\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{2n^3+1}=\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3}\cdot\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3}\to1\cdot e\cdot e=e^2$$