Question

Verlängert man vier parallele Kanten eines Würfels um je 9cm, so entsteht eine quadratische Säule, deren Körperdiagonale doppelt so lang ist wie diejenige des Würfels. Berechne die Würfelkante.

Answer 1

Nun, die Körperdiagonale (Raumdiagonale) d eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c ist

d = √ ( a ² + b ² + c ² )

Beim Würfel gilt a = b = c , also gilt für die Raumdiagonale d_w eines Würfels:

d_w  = √ ( a ² + a ² + a ² ) = √ ( 3 a ²  ) = a * √ ( 3 )

 

Die quadratische Säule in der Aufgabenstellung hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge a sowie eine Kantenlänge c = a + 9 . Also gilt für seine Raumdiagonale d_q:

d_q = √ ( a ² + a ² + ( a + 9 ) ² ) = √ ( 3 a ² + 18 a + 81 ) = √ ( a ² + 6 a + 27 ) √ ( 3 )

Laut Aufgabenstellung soll nun gelten:

d_q = 2 * d_w

<=>   √ ( a ² + 6 a + 27 ) √ ( 3 ) = 2 * a * √ ( 3 )

<=> √ ( a ² + 6 a + 27 ) = 2 * a 

<=> a ² + 6 a + 27 = 4 * a ²

<=> 3 a ² - 6 a = 27

<=> a ² - 2 a = 9

<=> a ² - 2 a + 1 = 10  

<=> ( a -1 ) ² = 10

<=> ( a - 1 ) = √ 10

<=> a = √ ( 10 )  + 1 = 4,16 cm

Die Kantenlänge des Würfels beträgt also etwa 4,16 cm.

Answer 2

(diagonale des wüfels)² + (körperdiagonale der säule)² = (verlängerte würfelkante)²
(a√2)² + (2a√3)² = (a+9)²
a: länge der würfelkante

2a² + 12a² = a²+18a+81
13a² - 18a - 81 = 0
mitternachtsformel anwenden
a = (18 ± √(18²-4*13*(-81)))/(2*13)
a = (18 ± √(4536))/26
a ≈ (18 ± 67.35))/26
a ≈ 3.28

Comments

Die Raumdiagonale der Säule soll doppelt so lang sein wie die Raumdiagonale des Würfels, nicht wie dessen Flächendiagonale.

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ja, das habe ich berücksichtigt: (a√2)² + (2a√3)² = (a+9)²

stimmt mein ergebnis nicht? habe gerade leider keine zeit, ich gucke mir das später noch einmal an.

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okay, ich habe meinen fehler gefunden, der ansatz war verbockt :-(
so ist es richtig:

(diagonale des wüfels)² + (verlängerte würfelkante)² =  (körperdiagonale der säule)²

(a√2)² + (a+9)² = (2a√3)²
2a² + a² + 18a + 81 = 12a²
12a² - 2a² - a² - 18a - 81 = 0
9a² - 18a - 81 = 0
a² - 2a - 9 = 0

a = 1 +- √(1-(-9))
a = 1 + √10

danke für deinen hinweis!

:-)