Wie löst man diese Satzaufgabe?

Question

Die Kantenlänge eines Quaders verhalten sich wie 4:5:8.

Wäre jede Kante um 8dm länger, so wäre die Körperdiagonale 3-mal so lang, wie sie ist.

Berechne die Kantenlängen des Quaders ?

Answer 1

Es gilt, abgeleitet aus dem angegebenen Verhältnis:

I) a / b = 4 / 5

II) b / c = 5 / 8

III) √ ( ( a + 8 ) ² + ( b + 8 ) ² + ( c + 8 )  ² ) = 3 * √ ( a ² + b ² + c ² )

Dieses Gleichungssystem ist nun zu lösen:

Aus I) ergibt sich:

I a ) 5 a = 4 b <=> a = ( 4 / 5 ) b

Aus II) ergibt sich:

II a ) 8 b = 5 c <=> b = ( 5 / 8 ) c

Eingesetzt in I a) ergibt:

I b ) a = ( 4 / 5 ) * ( 5 / 8 ) c = c / 2

Aus III) ergibt sich

√ ( a ² + 16 a + 64 + b ² + 16 b + 64 + c ² + 16 c + 64 ) = 3 * √ ( a ² + b ² + c ² )

<=> a ² + b ² + c ² + 16 ( a + b + c ) + 192 = 9 * a ² + 9 * b ² + 9 * c ²

<=> 8 ( a ² + b ² + c ² ) - 16 ( a + b + c ) = 192

I b) und II a) eingesetzt in III) ergibt:

<=> 8 ( c ² / 4 + ( 25 / 64 ) c ² + c ² ) - 16 ( ( c / 2 ) + ( 5 / 8 ) c + c ) = 192

<=> 2 c ² + ( 25 / 8 ) c ² + 8 c ² - 16 ( 17 c / 8 ) = 192

<=> ( 105 / 8 ) c ² - ( 272 / 8 ) c = 192

<=> 105 c ² - 272 c -1536 = 0

Anwendung der Großen Lösungsformel ("abc-Formel", "Mitternachtsformel") mit a = 105, b = - 272 c = -1536 ergibt (nur positive Lösung ist von Interesse):

c = 16 / 3 dm

b = ( 5 / 8 ) c = 10 / 3 dm

a = c / 2 = 8 / 3 dm