Wie löst man diese Sätzchenaufgabe?

Question

Zerlege die Zahl 200 so in zwei Summanden, dass die Summe der reziproken Werte dieser Summanden gleich dem reziproken Wert von 42 ist.

Answer 1

Zerlege die Zahl 200 so in zwei Summanden, dass die Summe der reziproken Werte dieser Summanden gleich dem reziproken Wert von 42 ist.

a + b = 200

1/a + 1/b = 1/42
42·a + 42·b = a·b

Lösungen: a = 60 ∧ b = 140 oder a = 140 ∧ b = 60

Answer 2

Hi,

"Wie löst man sowas"? -> Versuchen die Informationen in Gleichungen zu packen. Hat man das geschafft ist der Rest vollens einfach.

Schwierig ist hier eventuell der Begriff "reziprok"? Das ist letztlich nichts anderes als der "Kehrwert" ;).

 

x+y = 200  ---> x = 200-y

1/x+1/y = 1/42

Erste Gleichung in zweite einsetzen:

1/(200-y) + 1/y = 1/42     |*42*(200-y)*y

42y + (200-y)42 = (200-y)y

42y + 8400-42y = 200y-y^2  |+y^2-200y

y^2-200y+8400 = 0             |pq-Formel

y₁ = 60 und y₂ = 140

 

Die beiden Summanden lauten also x = 60 und y = 140 bzw. andersrum.

 

Grüße

Comments

Gerne :)    .

Answer 3

 

 

I. zwei Summanden: 200 = x + y | also 200 - y = x

II. Summe der reziproken Werte = 1/x + 1/y

III. Reziproker Wert von 42 = 1/42

 

Setzen wir I. in II. und III. ein:

1/(200 - y) + 1/y = 1/42 | * 42 * (200 - y) * y

42y / [(42 * (200 - y) * y] + [42 * (200 - y)] / [(42 * (200 - y) * y] = [(200 - y) * y] / [42 * (200 - y) * y] 

Wir multiplizieren alle Brüche mit dem Zähler und erhalten

42y - [42 * (200 - y)] = (200 - y) * y

42y - 8400 + 42y = 200y - y²

-y² + 200y + 8400 = 0 | * (-1)

y² - 200y - 8400 = 0 

 

pq-Formel

y_1,2 = 100 ±√(10000 - 8400) = 100 ± 40

y₁ = 140

y₂ = 60

Damit haben wir auch schon unsere Lösung: 

x = 140

y = 60

 

Probe: 

x + y = 140 + 60 = 200

1/x + 1/y = 1/140 + 1/60 = 6/840 + 14/840 = 20/840 = 1/42

 

Besten Gruß