Zu jedem ε > 0 ein N(ε) finden muss, sodass für alle n ≥ N(ε) die Ungleichung |an - 0| < ε erfüllt ist.

Question

Aufgabe:

Ich habe hier die Aufgabe, dass ich zu jedem ε > 0 ein N(ε) finden muss, sodass für alle n ≥ N(ε) die Ungleichung |an - 0| < ε erfüllt ist.

Die Folge an wird definiert durch:

an = 1/sqrt(n)

Problem/Ansatz:

Ich sitze jetzt schon ziemlich lange an dieser Aufgabe dran, weiß aber einfach nicht, wi ich über haupt anfangen soll.

Könnte mir da jemand bitte helfen?

Danke schon einmal im Voraus :)

Answer 1

an = 1/sqrt(n) also  |an - 0| < ε

<=>        1/sqrt(n) < ε  (Betrag fällt weg, da Wurzeln nie negativ

Beide Seiten positiv, also kannst du quadrieren

<=>        1/n < ε^2

<=>        n > 1 / ε^2

Also ist dein N eine nat. Zahl, die größer als  1 / ε^2  ist.

Sowas gibt es nach dem Axiom des Archimedes.

Answer 2

|1/√n|=1/√n<ε  ⇔ 1/n<ε^2 ⇔ n > 1/ε^2

vgl. Satz von Eudoxos.