Dach einer 20m breiten und 60 m langen Tennishalle soll einen Parabelbogen spannen

Question

Wie berechne ich diese Textaufgabe?

Aufgabe:

Das Dach einer 20m breiten und 60 m langen Tennishalle soll einen parabelbogen spannen. Berechne den Zuwachs, den das Lift Volumen der Halle erhält, wenn anstelle der ursprünglichen geplanten Bauhöhe von 8m eine Höhe von 10m gewählt wird.

Answer 1

mit der Scheitelpunktform einer Parabel

$$f(x)=a(x-d)^2+e$$

kannst du durch Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunktes und einer der Nullstellen "a" bestimmen.

Anschließend berechnest du den Flächeninhalt im Intervall von 0 bis 20 und multiplizierst das Ergebnis mit 60, um das Volumen zu erhalten.

Die Differenz der beiden Ergebnisse ist dann der Zuwachs.

Gruß, Silvia

Comments

Wie setzte ich die Koordinaten ein und berechne die nullstellen?

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Die Nullstellen kannst du aus der Zeichnung ablesen (bei 0 und 20). Nehmen wir das urspüngliche Dach. Die Scheitelpunktform lautet

$$f(x)=a(x-10)^2+8$$

Jetzt setzt du für f(x) null ein und für x 0 oder 20 und löst nach a auf.

Answer 2

ursprünglich geplante Bauhöhe von 8m:

Volumen:60· \( \int\limits_{-20}^{20} \) (-\( \frac{1}{50} \) x² + 8) dx

Neue Höhe von 10m

Volumen: 60· \( \int\limits_{-20}^{20} \) (-\( \frac{1}{40} \) x² + 10) dx.

Comments

Das ist glaube ich genau das Doppelte.

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@Roland: Wenn die Parabel so verschoben wird, dass der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, müssen die Grenzen -10 und +10 sein. Außerdem sind die Faktoren vor dem x² falsch. -0,08 und -0,1 wären richtig, da bei 10 eine Nullstelle vorliegt.

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Wop, du hast ganz recht. Die richtige Lösung steht schon da. Ich korrigiere daher nicht.

Answer 3

Vorschlag Verschiebung der Parabel um 10 m nach links
Der Scheitelpunkt befindet sich auf der y-Achse

Funktion
h = 10 m
f ( x )  = a * x^2 + 10
f ( 10 ) = 0 = a * 10^2 + 10
a * 10^2 + 10 = 0
a = -10 / 100 = -0.1
f ( x ) = -0.1 * x^2 + 10

kleinere Parabel
h = 8 m
f ( x )  = a * x^2 + 8
f ( 10 ) = 0 = a * 10^2 + 8
a * 10^2 + 8 = 0
a = -8 / 100 = -0.08
f ( x ) = -0.08 * x^2 + 8

Differenzfunktion
d ( x ) = -0.1 * x^2 + 10 - ( -0.08 * x^2 + 8 )
d ( x ) = -0.1 * x^2 + 10  + 0.08 * x^2 - 8
d ( x ) = 0.02 * x^2 + 2
Stammfunktion
S ( x ) = 0.02 * x^3 / 3 + 2x

Halbe Fläche
[ S ( x ) ] zwischen 0 und 10 = 40/3
ganze Fläche = * 2 = 80/3 m^2
Liftvolumen : Fläche * Hallenlänge

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