Wahrscheinlichkeit - Gewinnspiel

Question

Hallo liebe Leute,

ich musste mich mit der folgenden Aufgabe beschäftigen:

Alice, Bob und Cecile würfeln jeder einen Würfel. Wer am wenigsten Punkte hat, zahlt 2 Euro an den, der am meisten Punkte hat. Im Fall, dass zwei die gleiche Augenzahl haben, werden die 2 Euro an die beide Gewinner (bzw. Verlierer) geteilt (Z.B. wenn Alice 6 hat und Bob und Cecile beide 3, dann zahlen Bob und Cecile je 1 Euro an Alice).                                         Seien XA, XB, XC die Zufallsvariablen die das Gewinn von Alice/Bob/Cecile nach diesem Spiel bezeichnen.

(a) Finde die Verteilung von XA, d.h. gebe P(XA = k) für alle mögliche Werte von XA.

Mein Ansatz:

Entweder muss ich 2 oder 1 Euro zahlen, nichts zahlen (=0) oder ich bekomme 2 Euros.

Würfel - Möglichkeiten

Der Verlierer würfelt eine 1, diejenige Person, die die mittleren Zahlen würfeln kann, muss nichts zahlen, die rechts gewinnt. Das ganze auch, wenn der Verlierer eine 2,3 oder 4 würfelt.

1    2,3,4,5  6                                                                                                                                                                                1    2,3,4     5,6                                                                                                                                                                              1    2,3        4,5,6                                                                                                                                                                            1    2           3,4,5,6       …..

Dass ich verliere, ist die Wahrscheinlichkeit: (1/6)*2*(4/6)*(1/6)+(1/6)*2*(3/6)*(2/6)+...….= 0,324

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich so nichts zahlen muss respektive verliere, ist doch gleich gross, oder?

Dann gibt es die Möglichkeit, dass eine andere Person und ich verlieren(links) und einer gewinnt(rechts):

1,1    2,3,4,5,6                                                                                                                                                                               2,2    3,4,5,6                                                                                                                                                                                   3,3    4,5,6                                                                                                                                                                                    4,4    5,6                                                                                                                                                                                       5,5    6                                                                                                                                                                                            P = 2*(1/6)^2*(4/6)+2*(1/6)^2*(3/6)+....= 0,0925

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich gewinne und dass die beiden anderen verlieren, ist gleich gross, oder?

Ich rechne immer mal 2 dazu, wegen Fakultät. Wenn ich nun alles zusammenzähle, komme ich über 100%. Ich wollte nun fragen, was ich falsch mache. Könnte mir vielleicht jemand helfen? Das wäre sehr hilfreich für mich.

Ps. Entschuldigung wegen der Formatierung.

Answer 1

Deine Rechenwege sind etwas schwer nachzuvollziehen, die Ergebnis stimmen aber offensichtlich nicht. Du scheinst glaube ich richtig erkannt zu haben (auch wenn du das nicht ganz so geschrieben hast), dass gilt:

$$P(X_A=-2)= P(X_A=2)\\P(X_A=-1)= P(X_A=1)$$

Überlege welche Möglichkeiten es gibt zu verlieren:

Man verliert (-2€), wenn beide anderen Spieler höher würfeln als man selbst. Angenommen man würfelt eine 1 (\(p=\frac{1}{6}\)), so müssen beide anderen höher als Eins würfeln (\(p=\left(\frac{5}{6}\right)^2\)), also insgesamt \(\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2\). Analog, wenn ich eine 2-5 würfle ergibt:

$$ P(X_A=-2)= P(X_A=2)\\= \frac{1}{6}\cdot\left( \left( \frac{5}{6}\right)^2 + \left( \frac{4}{6}\right)^2 + \left( \frac{3}{6}\right)^2 + \left( \frac{2}{6}\right)^2 + \left( \frac{1}{6}\right)^2\right)\\= \frac{55}{216}\\ $$

Analog solltest für die Wahrscheinlichkeit 1€ zu verlieren/gewinnen auf

$$P(X_A=-1)= P(X_A=1)=  \frac{5}{36}$$

kommen. Die Berechnung überlasse ich dir, aber beachte, dass es hier in der Tat je zwei Möglichkeiten gibt: entweder Spieler B oder Spieler C würfelt genauso wie du (A), also hier muss mit 2 multipliziert werden.

Die Berechnung für \(X_A=0\) Euro Gewinn ist der schwierige Teil. Natürlich kannst du diese jetzt mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnen, versuche es aber mal mit einem ähnlichen Ansatz wie davor und bedenke, dass in dem Fall, dass alle drei Spieler die selbe Augenzahl werfen, davon ausgegangen werden muss, dass keiner etwas bezahlen muss.

$$P(X_A=0)= \frac{23}{108}$$

Comments

Aber müsste man bei P(X=2) = P(X=-2) nicht berücksichtigen, dass alle drei Gegner drei verschiedene Zahlen würfeln? Also wenn ich eine eins würfle, der Sieger eine 6, dann hat doch der, der die 0 würfelt genau 4 Möglichkeiten. Also (1/6)*(4/6)*(1/6)+...analog für alle anderen Werte. Deshalb habe ich auch gedacht, dass P(X=0)=P(X=2).

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Weil entweder musst du nichts bezahlen, die anderen müssen aber, oder alle würfeln dieselbe Zahl(6*(1/6)^3). Oder?

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Ok.... Ich glaube, nach langer Überlegung habe ich jetzt alles verstanden. Grosses, grosses Dankeschön an dich Trashcan, dass du dir die Zeit genommen hast, mir zu helfen. Endlich klingelt es bei mir!!!! Danke vielmals!!!

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Wenn die anderen die gleiche (aber höher als die eigene) Zahl würfeln, bezahlt man ja jedem 1 Euro, also ingesamt 2€. Also das gleiche, als wenn man die niedrigste von 3 unterschieldichen Zahlen würfelt.

Aber scheint sich ja erübrigt zu haben, ich musste bei der Aufgabe auch ein Weilchen Grübeln um meine anfänglichen Fehler zu finden :)