Stochastik: Textbeispiel: Gewinnspiel mit Getränkeflaschen

Question

Hi, ich verstehe dieses Beispiel gerade gar nicht... wäre dankbar um Hilfe! :-) 

„Eine Getränkefirma veranstaltet ein Gewinnspiel, bei dem durchschnittlich jede sechste verkaufte Flasche einen Gewinn bringt. Ein Kunde kauft eine Kiste mit 20 Flaschen. 

(1) Berechne Erwartungswert und Standardabweichung für die Anzahl X der Flaschen, die zu einem Gewinn führen.

(2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X im Intervall [μ - σ ; μ + σ] liegt?“ 

Answer 1

Die Anzahl Falschen in der Kiste, die zu einem Gewinn führen, ist binomialverteilt, d.h. es gilt

        P(X = k) = 20Ck · 1/6^k · (1-1/6)^20-k.

Dabei ist 20Ck der Binomialkoeffizient 20!/(k! · (20-k)!).

Ewartungswert ist μ = 20·1/6.

Standardabweichung ist σ = √(20·1/6·(1-1/6)).

Für die Wahrscheinlichkeit, im Intervall [μ-σ, μ+σ] zu landen, könntest du natürlich etzt für die einzelnen k die Warhscheinlichkeiten ausrechnen und addieren. Das ist mühsehlig. Normalerweise kann man den Wert aber auch it dem Taschenrechner berechnen oder aus einer Tabelle ablesen, Stichwort "kumulierte Binomialverteilung", "BinomialCDF" o.ä.

Allgemeines zur Binomialverteilung: wird ein Bernoulli-Experiment (das heißt eines mit zwei Ergebnissen, genannt "Erfolg" und Misserfolg), das die

        Erfolgswahrscheinlichkeit p

hat,

        n mal wiederholt,

dann kann die Wahrscheinlichkeit,

        genau k Erfolge

zu haben, mit der Bernoulliformel

        P(X = k) = nCk · p^k · (1-p)^n-k.

berechnet werden. Für den Erwartungswert μ gilt

        μ = n·p

und die Stanardabweichung kann berechnet werden mittels

        σ = √(n·p·(1-p)).