Parabelgleichung mit Halbparameter

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Parabel ist die Menge aller Punkte, welche von einem Punkt- (in diesem Fall: }} \\ {\text { Ursprung) - und einer Geraden (senkrechte Gerade bei } x=-p)\text { ,den selben Abstand }} \\ {\text { haben. gesucht: Gleichung der Parabel in der 1. Hauptlage mit Scheitel in }\left(-\frac{p}{2}, 0\right) \text { und }} \\ {\text { Halbparameter } p \text { in Polarkoordinaten. }}\end{array} $$

Problem/Ansatz

Mein Ansatz wäre die Scheitelform/gleichung der Parabel aufzustellen (Da man ja den Scheitelpunkt hat) und daraus dann die normale Gleichung aufzustellen. Stimmt der Ansatz? und wie stell ich einen Halbparameter auf?

Answer 1

und wie stell ich einen Halbparameter auf?

Halbparameter stellt man nicht auf. Halbparameter sind. In deinem Fall ist p der Halbparameter der gesuchten Parabel.

Mein Ansatz wäre die Scheitelform/gleichung der Parabel aufzustellen

Ja, kann man machen:

        y = a(x-d)² + e

mit d = 0 und e = -p/2.

Du musst nur noch a ausrechnen. DAbei musst du verwenden, dass p der Halbparameter ist. Und natürlich musst du das noch in Polarkoordinaten umwandeln.

Comments

Ohh okee vielen Dank!! lg

Answer 2

Wir spiegeln das Problem an der Gerade y=x: Dann lautet der Ansatz f(x)=a·x²-p/2. Der Punkt (p|0) liegt auf der Parabel. Das Einsetzen dieses Punktes in den Ansatz ergibt a=1/(2p). Zwischenlösung y=1/(2p)·x²-p/2. Spiegelung rückgängig machen: 

f(x)=\( \sqrt{2p(x+\frac{p}{2})} \).   

Answer 3

links siehst Du die senkrechte (Leit)Gerade bei \(x=-p\). Lt. Definition der Parabel ist jeder Punkt \(Q\) auf der Parabel gleich weit von der Leitgerade und dem Brennpunkt \(O\) entfernt. \(O\) ist bei dieser Aufgabe identisch mit dem Ursprung.

https://jsfiddle.net/7uo825q9/

Bewege den Punkt \(X\) mit der Maus. Die (roten) Strecken \(|XQ|\) und \(|OQ|\) sind immer gleich lang. Aus$$|XQ| = x+p \\ |OQ| = \sqrt{x^2+ y^2}$$folgt dann$$\begin{aligned} \sqrt{x^2+y^2}   &= x+ p&&\left| \, ^2\right. \\ x^2 + y^2 &= x^2 + 2xp + p^2 &&\left|  \, -x^2 \right. \\ y^2 &= 2xp + p^2 &&\left|\, \sqrt{\space} \right. \\ y &= \sqrt{2xp + p^2}\end{aligned}$$Oder wenn man es nach \(x\) auflöst:$$x = \frac 1{2p} y^2 - \frac p2$$wo der Charaketer der Parabel besser sichtbar wird.

Du kannst das auch gleich mit Polarkoordinaten rechnen, was sogar etwas einfacher ist: $$\begin{aligned} r &= |OQ| = |XQ| = x+p \\ r &= x + p \\ r &= r \cdot \cos \varphi + p && \left| \, - r \cdot \cos \varphi \right.\\  r - r\cdot \cos \varphi &= p && \left|\, \div(1-\cos \varphi) \right. \\r  &= \frac {p}{1-\cos \varphi}\end{aligned}$$