Welcher Schätzer ist besser?

Question

Sei \(X_1\) und \(X_2\) i.i.d. Zufallsvariablen mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\). Geben seien zwei Schätzer mit

\(S= \frac{X_1+X_2}{2} \) und \(T=\frac{aX_1+bX_2}{a+b}\)

Welchen Schätzer würden Sie für \(\mu\) empfehlen. (Wenn Sie T beantworten, für welche Werte a und b)

Ansatz: Ich habe zu beiden bereits Erwartungswert und Varianz bestimmt. Ich würde nun gerne den quadratischen Fehler

\(\mathbb{F}_{\mu}(.) = \mathbb{B}_{\mu}(.)+\mathbb{V}_{\mu}(.)\) bestimmen. Da fehlen mir aber die zugehörigen Verteilungen der obigen Schätzer.

Answer 1

Wenn Du die Varianz von \( T \) schon hast, dann ist das eine Funktion von \( a \) und \(b \). Bestimme von dieser Funktion das Minimum, indem Du die partiellen Ableitungen nach \( a \) und  \( b \) bildest und diese Null setzt. Danach musst Du das Gleichungssystem lösen. Das ergibt die Werte von \( a \) und \( b \) in Abhängigkeit von den Varianzen für \( X_1 \) und  \( X_2 \)