Welcher Schätzer ist besser?

Question

Sei $X_1$ und $X_2$ i.i.d. Zufallsvariablen mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$. Geben seien zwei Schätzer mit

$S= \frac{X_1+X_2}{2}$ und $T=\frac{aX_1+bX_2}{a+b}$

Welchen Schätzer würden Sie für $\mu$ empfehlen. (Wenn Sie T beantworten, für welche Werte a und b)

Ansatz: Ich habe zu beiden bereits Erwartungswert und Varianz bestimmt. Ich würde nun gerne den quadratischen Fehler

$\mathbb{F}_{\mu}(.) = \mathbb{B}_{\mu}(.)+\mathbb{V}_{\mu}(.)$ bestimmen. Da fehlen mir aber die zugehörigen Verteilungen der obigen Schätzer.

Answer 1

Wenn Du die Varianz von $T$ schon hast, dann ist das eine Funktion von $a$ und $b$. Bestimme von dieser Funktion das Minimum, indem Du die partiellen Ableitungen nach $a$ und  $b$ bildest und diese Null setzt. Danach musst Du das Gleichungssystem lösen. Das ergibt die Werte von $a$ und $b$ in Abhängigkeit von den Varianzen für $X_1$ und  $X_2$