Steigung mit Differentialquotienten

Question

ich hätte mal eine Frage bezüglich einer Aufgabe. Also ich habe die Lösung und Rechenweg aber versteh da was nicht ganz... vielleicht kann mir da ja jemand weiterhelfen.

Funktion:  f(x) = -x² + 4    davon ist die Ableitung ja logischerweise  f´(x) = -2 x


So. Jetzt ist gefragt nach "Bestimmen Sie die Steigung von f bei x0 = 1 mithilfe des Differentialquotienten"


Gerechnet ist es so  f´(x) = -2x   Substitution: x = 1 + h

= lim  [ - 2 ( 1+ h) ] - (- 2 * 1) / h

= lim -2-2h+2 / h

= -2h/h = -2


Ist die Lösung richtig? Und vor allem verstehe ich nicht ganz, was diese Substitution soll?
Woher kommt diese Substitution bzw. wie kommt man darauf, dass man das machen soll?

Answer 1

Ja. Das Ergebnis ist richtig. Wenn du bei f'(x) für x = 1 einsetzt kommt ja auch -2 heraus.

Der Differenzialquotient ist wie folgt definiert.

lim (h→0) (f(x + h) - f(x)) / h

Eigentlich substituiert man also nicht sondern man setzt nur ein

f(x) = -x^2 + 4
f(a) = -a^2 + 4
f(x + h) = -(x + h)^2 + 4

Comments

Und wie kam man dann auf die 1+h ?  Ich mein, dass ist doch die h-formel, wenn ich das richtig erkenne, aber ich verstehe nicht ganz, warum das "1+". Woher hat man denn die 1 genommen?

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Weil du die Stelle x0 = 1 berechnen sollst. Also kann man dort für x die 1 einsetzen.

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Ahhhhh. Okay. danke! Jetzt habe ich es verstanden !