Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass jede stetige Funktion f: [a,b] -> IR genau dann von beschränkter Variation ist, wenn ihr Graph endliche Länge hat.
Meine Lösung bzw. Ansatz:
Das Problem ist, dass hier für f nur Stetigkeit und keine stetige Differenzierbarkeit vorausgesetzt ist, wie sie für die Längenformel erforderlich ist, deswegen versuche ich die Länge über den Umweg mit Pythagoras zu finden, aber ich bin mir nicht sicher ob das Vorgehen legitim ist, bzw. es Grenzfälle gibt für die diese Betrachtung nicht gültig ist.
=> Angenommen der Graph hat endliche Länge und Z sei eine Zerlegung von I:=[a,b] mit Z:={ t0 , t1 , ..., tm }.Die Länge des Graphen auf einem Intervall [ tj-1 , tj ] ergibt sich dann aus VZ(j) = Wurzel{ (tj - tj-1)2 + (f(tj) - f(tj-1))2 }.
Die gesamte Länge des Graphen erhalte ich dann wenn ich diese Teillängen über j summiere, also
L(f) = \( \sum\limits_{n=1}^{m}{V_Z(j)} \) < ∞ (nach Voraussetzung)
Jetzt betrachte ich die totale Variation T, die sich ja nur aus der Differenz der Funktionswerte ergibt, also
TZ(j) = f(tj) - f(tj-1)
und insgesamt
T(f) = \( \sum\limits_{n=1}^{m}{T_Z(j) } \)
Jetzt sieht man aber, dass dadurch dass der Term (tj -tj-1)2 immer positiv ist, der Ausdruck VZ(j) immer größer gleich TZ(j) ist für alle j. Somit ist die totale Variation beschränkt.
<= Sei nun f von beschränkter Variation. Es existiere wieder eine Zerlegung Z:={t0, ..., tm} von I.
aus der beschränkten Variation folgt, dass s und S existieren mit s := inf{ f(tj) | j ∈ [0,1,..,m]} und s := sup{ f(tj) | j ∈ [0,1,..,m]}
Da I kompakt ist, kann ich doch dann die Weglänge von f insgesamt mit
L(f) = (s-S)*(a-b) abschätzen, also der größtmöglichen Differenz der Funktionswerte über das ganze Intervall. Das (s-S) und (a-b) endlich sind, folgt dass der Graph endliche Länge hat.
Kann mir irgendjemand dazu sagen, ob dieser Beweis sinnvoll bzw. gültig ist? Weil anschaulich denke ich schon dass das passt, aber leider sieht man an z.B. den Peano Wegen oder den ganzen Gegenbeispielen von unserem Prof mit x²sin(1/x) und solchen Späßen, dass Anschaulichkeit seehr oft trügt.
Mit freundlichen Grüßen
