Aufgabe:
Betrachten Sie auf dem Intervall \( [-2,4] \) jeweils die Funktionen
\( f_{1}(x)=4 x \quad \text { und } \quad f_{2}(x)=x^{2} . \)
a) Untersuchen Sie für \( j=1,2 \) anhand der Definition 4.18, ob die Funktion \( f_{j} \) von beschränkter Variation ist, d. h. ob \( f_{j} \in B V^{m}[-2,4] \) für \( m=1 \) gilt.
b) Im Fall beschränkter Variation berechnen Sie die Variation \( V\left(f_{j} ;-2,4\right) \).
Def.4.18 Geg. Vektorfunktion
\( \gamma:\left[a_{i} b\right] \rightarrow \mathbb{R}^{m} \)
\( z=\left\{a=x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}=b\right\} \)
sei Zerlegung von \( [a, b] \)
\( V(gamma ; a, b):=\sup _{z} \sum \limits_{k=1}^{n}\left\|\gamma\left(x_{k}\right)-\gamma\left(x_{k-1}\right)\right\|_{2} \)
Heißt (Total-) Variation von gamma über \( [a, b] \)
( sup meint Supremum bzgl. aller möglichen Zerlegungen \( z \operatorname{von}[a, b]) \). Gamma heißt von beschränkter Variation uber \( [a, b] \), falls \( V(gamma ; a, b)<\infty \), schreiben \( gamma \in B V^{m}[a, b] \) (speziell für \( m=1 \) !)
Problem/Ansatz:
Sowohl a, als auch b komm ich überhaupt nicht weiter. Ich verstehe was gefragt ist. Hab jedoch keine Ahnung, wie ich die Lösung umsetzen soll :/
