Verteilungsgewicht ρ nach dem Zeitpunkt der ersten Kollision

Question

Aufgabe:

Es sei T der Zeitpunkt der ersten Kollision beim sukzessiven rein zufälligen Besetzen von g Plätzen (mit einem Objekt nach dem anderen), E_n sei das Ereignis “keine Kollision unter den ersten n Objekten”, und w_n :=P(E_n) dessen Wahrscheinlichkeit.

(a) Drücke das Verteilungsgewicht ρ_n := P (T=n) durch w_n−1, n und g aus.

(b) Es sei g = 100. Bestimme ein möglichst kurzes Intervall I, sodass gilt: P(T∈I) ≥ 0.5.

Hinweis: A ist eine Teilmenge von {1, . . . , g}ⁿ. Damit ergibt sich die instruktive Beziehung E_n={(X1, . . . , X_n) ∈A}.

Problem/Ansatz

In der Vorlesung hatten wir die Definiton, dass die Zahlen ρ(a) := P (X = a) Verteilungsgewichte sind und eine Abbilung A -> ρ (A) := P (X ∈ A), A ⊂ S die Verteilung von X ist. Ferner hatten wir noch, dass, wenn X ein zufälliges Paar, bestehend aus den Komponenten S1 und S2 ist, sich die Verteilungsgewichte als ρ(a₁,a₂) = P ((X₁,X₂) = (a₁,a₂) ) berechnen lassen., wobei P (X₁ = a₁, X₂ = a₂). Wenn man also das Verteilungsgewicht von ρ₁(a₁) wissen will, rechnet man ∑ (a₂∈S₂) über ρ(a₁,a₂).

In dem Zusammenhang versteh ich nicht, wie ich das jetzt durch w_n-1, n und g ausdrücken soll.

Zu b) hab ich leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich das I in der Rechnung verarbeiten soll. Intuitiv würd ich sagen, dass bei 100 Personen eine Kollisionsfreiheit sehr unwahrscheinlich ist.Von daher müsste das Intervall sehr klein sein, oder?