Lineare Algebra Bestimmen von Injektiv, Surjektiv

Question

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie, ob folgende Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.

An sich ist das kein Problem. Aber ich weiß nicht wie ich das Anständig mit Beweis aufschreiben soll. Freu mich auf eure antworten.

MFG Terry

a) \({ f _ { 1 } : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , x \mapsto x ^ { 2 } + x + 1 }\)

b) \({ f _ { 2 } : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} , x \mapsto x ^ { 2 } + x + 1 }\)

c) \({ f _ { 3 } : \{ 1,2 \} \times \{ 1,2,3 \} \rightarrow \{ 1,2,3,4,5,6 \} \subset \mathbb{R} , ( a , b ) \mapsto 3 ( a - 1 ) + b }\)

d) \({ f _ { 4 } : \mathbb{R} \backslash \{ - 3 \} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \{ 2 \} , x \mapsto \frac { 2 x + 5 } { x + 3 } }\)

e) \({ f _ { 5 } : \mathbb{R} ^ { 2 } \rightarrow \mathbb{R} ^ { 2 } , ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \mapsto ( 2 x _ { 1 } + 5 x _ { 2 } , x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } ) }\)

Comments

An sich ist das kein Problem.

Ich schlage vor du äußerst deine Vermutungen und dann kümmern wir uns um einen Beweis. Vielleicht sagst du noch etwas dazu, was dich zu der Vermutung geführt hast.

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a. zum beispiel ist surjektiv und nicht injektiv, da

-1 → 3 und 1 → 3

b. z.b ist injektiv und surjektiv, da

1 → 3 und nun die Ziel und Definitionsmenge ℕ → ℕ ist.

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f₁ ist nicht surjektiv, weil -2 ∈ ℝ ist, aber x²+x+1 = -2 keine Lösung in ℝ hat.

f₁ ist nicht injektiv, weil f₁(-1) = f₁(0) ist.

f₂ ist injektiv, weil f₂ auf N streng monoton steigend ist.

f₂ ist nicht surjektiv, weil 4 ∈ ℕ ist, aber x²+x+1 = 4 keine Lösung in ℕ hat.

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Ok ich war vielleicht ein bisschen zu hastig.

Das ergibt deutlich mehr sinn.

: f2 ist nicht surjektiv, weil 4 ∈ ℕ ist, aber x²+x+1 = 2 keine Lösung in ℕ hat.

Wieso das gleich 2 am ende?

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Wieso das gleich 2 am ende?

Ich habe das Konzept von Copy & Paste noch nicht ganz durchschaut. Jetzt steht da, wie vermutlich erwartet, eine 4.