((A∧B)∨¬(A∨C))∧¬(A∨¬B) auflösen

Question

Ich sitze gerade an einer Aufgabe zur Aussagenlogik. Erstmal die Aufgabe, dann meine bisherigen Versuche und die Fragen.

Bob berichtet von seinen Prüfungsergebnissen:
- Ich habe in A und in B bestanden, oder es trifft nicht zu, dass ich in A oder C bestanden habe
- Es ist unzutreffend, dass ich in A bestanden habe oder in B durchgefallen bin.
Wie sieht das Ergebnis von Bob aus?

Ich habe die Lösung vorliegen, allerdings ohne Rechenschritte, so dass mir das fürs Verständnis gar nichts bringt und darum gehts ja schließlich.

Die Lösung ist: Bob hat B bestanden und C und A nicht bestanden.

Nun zu meinen Schritten:

Erstmal natürlich die Aussagen dargestellt

$$ ((A \land B)\lor\neg(A\lor C))\land\neg(A\lor\neg B) $$

Dann hab ich mit den zweiten Term der großen Klammer nach den DeMorganschen Gesetzen umgestellt zu

$$ ((A \land B)\lor(\neg A\land \neg C))\land\neg(A\lor\neg B) $$

Anschließend habe ich die große Klammer umgeformt

$$ ((A \lor \neg A) \land (A \lor C) \land (B \lor \neg A) \land (B \lor C)) \land \neg (A \lor \neg B) $$

Ich glaube den ersten Term der großen Klammer kann ich weglassen, so dass ich folgendes erhalte

$$ ( (A \lor C) \land (B \lor \neg A) \land (B \lor C)) \land \neg (A \lor \neg B) $$

Und hier stehe ich nun auf dem Schlauch. Mir erscheint es, als wären die Schritte (hoffentlich) richtig, aber wenig sinnvoll. Sachen unnötig kompliziert machen ist in Mathe leider eines meiner wenigen Talente. Oder bin ich auf dem richtigen weg und sehe gerade nur nicht, wie ich weiter machen muss?

Es wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Ich will gar nicht unbedingt ne komplette Lösung, sondern vielleicht erstmal aufgezeigt bekommen, bei welchem Schritt ich falsch abgebogen und wie ich bei diesem Schritt hätte konkret vorgehen sollen (also Formulierungen wie "schau dir mal Gesetz xy an" sind zwar nett, aber damit komm ich persönlich in der Regel kaum weiter, wenn ich nicht wenigstens den entsprechenden Schritt gezeigt bekomme um ihn nachvollziehen zu können).

Vielen Dank schonmal an jeden, der hierfür seine Zeit opfert!

Answer 1

Aloha :)

Dein Ansatz ist korrekt, auch die Lösung ist korrekt. Im folgendne kurzen Rechenweg verwende ich \(\cdot\) anstelle von \(\land\) und \(+\) anstelle von \(\lor\), außerdem soll AND Vorrang vor OR haben, also wie gewohnt \(\cdot\) vor \(+\). Das erleichtert mir das Tippen und macht die Rechnung erheblich übersichtlicher:$$\left(A\cdot B+\overline{A+C}\right)\cdot \left(\overline{A+\overline B}\right)$$Mit den Regeln von de Morgan vereinfachen wir die Negationen:$$=\left(A\cdot B+\overline A\cdot\overline C\right)\cdot \left(\overline A\cdot B\right)$$Jetzt wird ausmultipliziert:$$=A\cdot B\cdot\overline A\cdot B+\overline A\cdot\overline C\cdot\overline A\cdot B=\underbrace{A\cdot\overline A}_{=0}\cdot B+\overline A\cdot\overline C\cdot B=B\cdot\overline A\cdot\overline C$$

Comments

Vielen herzlichen Dank!

Mit dieser Darstellung ist es um einiges übersichtlicher, so dass ich das Ganze relativ problemlos nachvollziehen konnte. Man fühlt sich direkt viel weniger vor den Kopf gestoßen.

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Ja, diese Schreibweise ist super... viel übersichtlicher und schneller erfassbar.

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Warum wird diese Schreibweise nicht standardmäßig verwendet. Sie ist sehr anschaulich und spart Klammern ohne Ende... Danke fürs Zeigen :)