Hallo liebe Leute,
ich hatte da eine Frage zur folgenden Aufgabe:
Ein Angler hat drei Angelplätze O ∈ {1,2,3}, die er mit gleicher Wahrscheinlichkeit aufsucht. Wirft er die Angel am ersten Platz aus, so beißt ein Fisch an mit der Wahrscheinlichkeit p1, am zweiten mit der Wahrscheinlichkeit p2, am dritten mit der Wahrscheinlichkeit p3. Alle Resultate sollen als Funktion von p1,p2,p3 angegeben und für p1 = p2 = 1/8, p3 = 1/20 berechnet werden. Er wählt nun zufällig einen Angelplatz O ∈{1,2,3} und wirft seine Angel nur an diesem Platz aus. Die Anzahl Würfe W ist zufällig, unabhängig von der Wahl des Angelplatzes, und erfüllt P(W = k) = (λ^k)/(k!) *e^(−λ), für alle k = 0,1,..., mit λ = 40 (Poissonverteilung). Sei N die Anzahl gefangener Fische in den W Würfen.
a) Bestimme für i = 1,2,3 und k ≥ 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit P[N = k | O = i].
b)Es sei bekannt, dass während des Angelns nur einmal ein Fisch angebissen hat. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Angler am ersten Platz geangelt hat.
Bei der ersten Aufgabe habe ich für den 1. Ort:
P(N=k | O = 1) = P(N = k, O = 1)/P(O=1) = (P(W = k) * p1^k * P(O=1)) /P(O=1) = P(W = k) * p1^k.
Aber ich habe leider absolut keine Ahnung, ob mein Resultat stimmt.
Bei b habe ich gedacht:
P(O = 1 | N = 1) = P(O=1, N=1) /P(N=1) =
(P(W=k) * p1 * (1-p1)^(k-1) * P(O = 1))/(P(W=k)*(p1*(1-p1)^(k-1)+p2*(1-p2)^(k-1)+p3*(1-p3)^(k-1))/3)
Auch hier weiss ich nicht, ob meine Idee stimmt.
(c) Er wählt nach jedem Wurf zufällig einen Angelplatz und wirft seine Angel aus. Sei M die Nummer des Versuchs, bei dem der erste Fisch anbeisst. Welche Verteilung hat M?
Ist das nicht die geometrische Verteilung mit: P("Fisch beisst zum ersten mal") = p*(1-p)^(M-1) ?
Könnte mir vielleicht jemand helfen und sagen, ob meine Ansätze stimmen? Das wäre unglaublich hilfreich für mich.
