Länge der Höhe im Dreieck berechnen

Question

Betrachtet wird das Dreieck ABC mit den Eckpunkten: A(2|1|0), B(4|3|-1) und C(5|4|3). Berechnen Sie die Länge der Höhe h_b.

Ich nehme an dass man hier die Lot-Ebenen-Methode anwenden muss und den Abstand zwischen B und der Mitte von AC berechnen soll ?

Als Aufpunkt würde ich dann ja B nehmen. Aber wie komme ich auf den Normalenvektor des Vektors AC ?

Comments

Aufgabe würde inzwischen im Unterricht besprochen und mir ist nun klar das das endergebnis 2 ist. Leider verstehe ich noch immer nicht die vorgehensweise hier. Kann mir das jemand vielleicht schritt für schritt erklären? Habs erneut selber versucht und bin soweit gekommen:

Habe also B als Aufpunkt genommen und die Strecke AC als richtungsvektor

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Du kannst einen Normalenvektor zur der Ebene, in der das Dreieck liegt, bestimmen, indem du zum Beispiel das Vektorprodukt von \( \vec{AC} \) x \( \vec{AB} \) = \( \vec{n} \) berechnest.

Dann bildest du das Vektorprodukt aus \( \vec{n} \) und \( \vec{AC} \), da n auch senkrecht zu AC ist. (Ergebnis \( \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\2\end{pmatrix} \) )

Probiere das mal aus und melde dich, wenn du weitere Hilfe brauchst.

Gruß, Silvia

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Bei mir kommt statt (-1|-1|2), (27|27|-54) raus?i

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Dann kürzt du alles durch 27 und kommst auf das gleiche Ergebnis (dein Vektor hat zwar eine andere Richtung, aber das ändert nichts an der Länge)

Answer 1

\( \vec{AC} \) =\( \begin{pmatrix} 5\\4\\3 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\3\\3 \end{pmatrix} \). Es gibt unendlich viele Vektoren,die auf \( \vec{AC} \) orthogonal sind. Aber nur einer davon liegt auf einer Geraden, die AC schneidet und durch B geht.

Answer 2

Aloha :)

Gegeben sind die Punkte \(\vec a=(2;1;0)\;;\;\vec b=(4;3;-1)\;;\;\vec c=(5;4;3)\). Damit sind:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)$$$$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\left(\begin{array}{c}5\\4\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)$$

Sei in deiner Skizze der Punkt \(H\) dort, wo die Höhe \(h_b\) die Strecke \(\overline{AC}\) schneidet, dann finden wir durch Projektion von \(\overrightarrow{AB}\) auf \(\overrightarrow{AC}\):

$$\overrightarrow{AH}=\left(\overrightarrow{AB}\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}\right)\cdot\frac{\overrightarrow{AC}}{\overline{AC}}=\left[\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{27}}\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)\right]\cdot\frac{1}{\sqrt{27}}\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)$$$$\phantom{\overrightarrow{AH}}=\frac{1}{3}\left[\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\right]\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\cdot3\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$Damit können wir nun \(h_b\) bestimmen:$$\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}\;\;\Rightarrow\;\;\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}=\left(\begin{array}{c}2\\2\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\-2\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\;\;h_b=\left|\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt4=2$$

Comments

Das thema Projektion haben wir noch nicht behandelt, deshalb versteh ich die lösung hier leider nicht ganz :/

Gibt es einen anderen lösungsweg?

Answer 3

und den Abstand zwischen B und der Mitte von AC berechnen soll ?

Nein, dass würde nur gehen, wenn das Dreieck gleichschenklig mit BA=BC wäre.

Für den Flächeninhalt F eines Dreiecks gilt F=0,5*g*h und demzufolge h=2F/g.

Berechne einfach den Flächeninhalt des Dreiecks (z.B. halber Betrag eines Vektorprodukts) , multipliziere mit 2 und teile durch die Länge der Grundseite AC.