Induktionsbeweis für die Summenformel ∑(-1)k·2k ·(n über k)=(-1)n?

Question

Hallo. Ich wüsste gerne wie folgende Induktionsaufgabe zu lösen ist.

n

∑(-1)^k·2^k ·(n über k)=(-1)ⁿ

k=0

Bin sehr dankbar für eure Antworten

Answer 1

Aloha :)

Die allgemeine binomische Formel lautet: $(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Wenn du das mit deiner Aussage vergleichst, findest du:

$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k2^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(-2)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}(-2)^k=(1+(-2))^n=(-1)^n$$Aber vermutlich musst du die Behauptung per vollständiger Induktion beweisen, um diese Technik zu üben. Das machen wir nun gemeinsam:

Verankerung bei $n=0$

$$\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(-2)^k=\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}(-2)^k=\binom{0}{0}(-2)^0=1=(-1)^0=(-1)^n\quad\checkmark$$

Induktionsschritt $n\to n+1$

$$\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-2)^k=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right](-2)^k$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-2)^k+\sum\limits_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}(-2)^k\quad\left|\;\text{denn:}\;\binom{n}{n+1}=0\;;\;\binom{n}{-1}=0\right.$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-2)^k+\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-2)^{k+1}\quad\left|\;\text{Indexverschiebung bei 2-ter Summe}\right.$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-2)^k\cdot\left(1+(-2)\right)\quad\left|\;\text{Induktionsvoraussetzung einesetzen}\right.$$$$=(-1)^n\cdot\left(1+(-2)\right)=(-1)^n\cdot(-1)=(-1)^{n+1}\quad\checkmark$$

Comments

Mega vielen lieben Dank! :)))

Answer 2

Tipp: (-1)ⁿ = (1 - 2)ⁿ = ∑...