Behauptung zu Wendepunkten der Funktionenschar fa(x)= x⋅e^(1−0,2ax) beweisen

Question

Aufgabe:

Hey , hatte einmal eine Frage zu einer Aufgabe im Thema Funktionschar mit e Funktion

fa(x)= x⋅e^(1−0,2ax)

nun sollte ich eine Gerade bestimmen auf der alle Wendepunkte liegen , habe ich dann mit der 2.Ableitung gemacht diese gleich null gesetzt und dann die Formel durch Umstellen herausgefunden

jetzt soll ich noch zeigen , dass alle Graphen der Funktionsschar im Wendepunkt
Wa (2/a|1/e⋅2/a) die gleiche Steigung haben . dort komme ich irgendwie nicht weiter

würde mich auch über Lösungsansätze freuen

Nachtrag:

Gleichung lautet
$$f_a(x)=x\cdot e^{1-0,2ax}$$
und der Wendepunkt hat die Koordinaten
$$W_a=(\frac{2}{a}|\frac{1}{e}\cdot\frac{2}{a)}=(\frac{2}{a}|\frac{2}{ae})$$

Comments

Also lautet die Gleichung
$$f_a(x)=x\cdot e^{1-0,2ax}$$
und der Wendepunkt hat die Koordinaten
$$W_a=(\frac{2}{a}|\frac{1}{e}\cdot\frac{2}{a)}=(\frac{2}{a}|\frac{2}{ae})$$
?

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Ja die Angaben sind jetzt richtig

Answer 1

unabhängig vom Abschreibfehler:

Berechne  f'(x), setze 2/a ein:

Berechne f'(2/a). Da muss was ohne a, also eine feste Zahl herauskommen, d.h. an allen Wendestellen ist die gleiche Steigung!

f_a^'(x)=e^1−0,2ax + x⋅e^1−0,2ax(-0,2a)

= e^1−0,2ax(1-0,2ax)

f_a'(2/a)=e^{1−0,2a(2/a)}(1-0,4)=0,6e^0,6= const.