$$\frac{\frac{1}{ln(k+1)^{k+1}}}{\frac{1}{ln(k)^{k}}}=\frac{ln(k)^{k}}{ln(k+1)^{k+1}}={(\frac{ln(k)}{ln(k+1)})^k}*\frac{1}{ln(k+1)}$$
Der erste Faktor ist eine Potenz mit einer Basis, die kleiner 1 ist, also
ist der ganze Faktor < 1 und du kannst weitermachen mit
$${(\frac{ln(k)}{ln(k+1)})^k}*\frac{1}{ln(k+1)} < \frac{1}{ln(k+1)}$$
und dann gilt für k>4 sicherlich
$$≤ \frac{1}{ln(5)} < 0,7 $$
Also mit q=0,7 hast du ein q<1 bei dem für k>4 gilt
$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q \lt 1$$
Die Reihe ist also konvergent.
