Konvergenz einer Reihe - Quotientenkriterium - Gleichung wird zur Ungleichung

Question

Aufgabe: Konvergenz der Reihe nachweisen

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n\ast n! }{ 1+(3n)! }  } $$

Meine Vorgehensweise: Quotientenkriterium!

Ich komme auf die erste und die zweite Zeile der Lösung. Ab dem "kleiner-gleich" Zeichen steige ich jedoch aus.

Kann mir jemand erklären wie das zustande kommt, was da gemacht wird und was man damit versucht zu erzielen?

\( \begin{aligned}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| &=\frac{(n+1)(n+1) !(1+(3 n) !)}{n \cdot n !(1+(3(n+1)) !)} \\ &=\left(\frac{n+1}{n}\right)(n+1) \frac{1+(3 n) !}{1+(3 n+3) !} \\ & \leq\left(\frac{n+1}{n}\right)(n+1) \frac{(3 n) !+(3 n) !}{(3 n+3) !} \\ & \leq\left(\frac{n+1}{n}\right)(n+1) \frac{2(3 n) !}{(3 n+3) !} \\ & \leq\left(\frac{n+1}{n}\right)(n+1) \frac{2}{(3 n+3)(3 n+2)(3 n+1)} \\ & \leq\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2} \frac{2}{\left(3+\frac{3}{n}\right)(3 n+2)(3 n+1)} \\ & \leq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} \frac{2}{\left(3+\frac{3}{n}\right)(3 n+2)(3 n+1)} \\ & \stackrel{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0<1 \end{aligned} \)

Answer 1

Du willst doch mit dem Quotientenkriterium zeigen,dass die Reihe konvergiert, also dass das,was beim Anwenden des Quotientenkriteriums rauskommt kleiner als 1 ist.
Das ist ja die Aussage des Kriteriums.
Quotientenkriterium <1  ===> die Reihe konvergiert.
Wenn du das was du hast jetzt nach oben abschätzt, also was größeres findest, was aber trotzdem kleiner als 1 ist , so weißt du ja, dass das was du vorher hattest auch kleiner als 1 ist.
Bzw. in diesem Fall du findest etwas größeres,dass gegen 0 konvergiert. Also konvergiert der Betrag von dem,was du vorher hattest auch gegen 0.
Primitives Beispiel :
Ich möchte zeigen, dass 3 kleiner als 5 ist.
Ich weiß,dass 4>3 .
Also wenn 4<5 ist , so ist auch 3<5,da 3<4 .

Prinzip verstanden?
Das was bei dir gemacht wird,sind alles nur Abschätzungen. Mal wird der Nenner erhöht,dadurch wird der Bruch ja größer ,mal wird der Zähler verringert. Das hat ja beides den selben Effekt.

Answer 2

Erstes kleiner-gleich: 1<(3n)! im Zähler, 1>0 im Nenner.

Zweites kleiner-gleich: Eigentlich ein =.

Drittes kleiner-gleich: Eigentlich ein = (reines Kürzen)

Viertes kleiner-gleich: Eigentlich ein =.

Ziel: Zeigen, dass die Vor. des Quot.kriteriums erfüllt sind.