Multiplikation mit Komplexen Zahlen

Question

 Gegeben sei die Menge G := {(x,y) ∈C (x,y)^3 = (1,0)}, wobei

( x,y)^3 = (x,y)·(x,y)·(x,y)

und · die Multiplikation komplexer Zahlen wie in der Vorlesung bezeichne.

a) Zeigen Sie:

i) Für alle (x,y),(x0,y0) ∈ G gilt (x,y)·(x0,y0) ∈ G.

ii) Mit der Multiplikation ·: G×G → G aus i) wird (G,·) zu einer abelschen Gruppe mit neutralem Element (1,0).

b) Geben Sie die Elemente von G explizit an, indem Sie alle Lösungen der Gleichung (x,y)3 = (1,0) in C berechnen.

Ich hab einfach gar keine Ahnung wie das Rechnen mit komplexen Zahlen funktioniert. Wäre dankbar wenn man mir vielleicht beim Ansatz helfen könnte.

Comments

Ich kann mir schwer vorstellen in der Vorlesung nicht erklärt wurde, wie das Rechnen mit komplexen Zahlen funktioniert, wenn solche Aufgaben gestellt werden. Also schreib doch erst mal auf, was Du darüber weisst.

Answer 1

Ich hab einfach gar keine Ahnung wie das Rechnen mit komplexen Zahlen funktioniert.

Vorschlag: Befasst Euch in einer Lerngruppe mal einige Stunden mit:

euer Vorlesungsmaterial

Gaussche Ebene

e^iφ

primitve Einheitswurzeln

Dann ist das Gruppengedöns aus der Aufgabe trivial. Ihr erkennt sofort die 3 Lösungen von b):

η₀=eⁱ⁰=(1,0)=1

η₁=e^iπ*2/3=(cos π*2/3,sin π*2/3)=(-0,5 ; 0,5√3)=-0,5+i*0,5√3

η₂=e^iπ*4/3=(cos π*4/3,sin π*4/3)=(-0,5 ; -0,5√3)=-0,5-i*0,5√3

Dann seht ihr auch, dass η_k = η₁^k und η_k * η_m = η^k+m ∈ G und die Gruppeneigenschaften.

Comments

Das was du mir hier schreibst haben wir noch nicht behandelt.

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Seit ihr noch an einer Erstsemesterlösung interessiert? (viel Schreibarbeit)

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Lebst Du noch?

(x,y)= x+iy
(x+iy)³ = x³ +3x²iy + 3xi²y² + y³ = x³ -3ix²y - 3xy² -iy³ =(1,0), also
(I) x³-3xy²=1 und (II) 3x²y-y³=0
(II) 3x²y-y³=0
3y(x+y\( \sqrt{1/3} \) )(x-y\( \sqrt{1/3} \) )=0

1. Lösung: y=0 in (I): x=0, d.h. Lösung (1,0)= 1+i*0=η₀
2./3. Lösung: y=±x\( \sqrt{3} \) in (I): -8x³=1, also x=-0,5 in (II):Y=±0,5\( \sqrt{3} \)
                     also 2./3. Lösung: η₁, η₂