Ortskurve z(t)=1+2e^(jt) in der w -Ebene abbilden mit Abbildung 1/z

Question

Aufgabe:

Welche Bildkurve in der w-Ebene ergeben sich durch die Abbildung 1/z aus folgende Ortskurve

z(t)=1+2e^(jt)

Problem/Ansatz:

ich bin schon lange bei dieser Aufgabe und komme nicht weiter

Ich habe die w=f(1/z) ausgerechnet aber mit dem Ergebnis kann ich überhaupt damit was anfangen.

Wäre nett , wenn mir jemand es erklären könnte oder ich da ein Fehler gemacht habe.

Comments

Es handelt sich bei z ↦ w =1/z um einen Elementartyp der Möbiustransformation. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biustransformation#Elementartypen und

 hier: https://www.mathelounge.de/585829/komplexe-zahlen-umkehrung-am-einheitskreis-u-z-1-z-wobei

Answer 1

Hallo

Du hast ja nicht mit dem konjugiert komplexen erweitert, was ist denn konjugiert zu 1+exp(jt)

Der Nenner soll ja reell werden!

Gruß lul

Comments

Danke für den Hinweis.

Jetzt sollte es richtig sein oder?

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Hallo

ja es ist richtig, ich würde im Zähler 1+2e^-it schreiben , und hätte mit 1+2e^-it erweitert

es ist wieder ein Kreis, aber schwer zu sehen, 1/z bildet Kreise immer auf Kreise ab. du kannst das der Parameterform aber nicht leicht einsehen, wenn du aber die 2 Punkte 3 auf 1/3, -1 auf -1 abbildest, geht der Kreis durch diese 2 Punkte, hat also den Mittelpunkt bei -1/3 und den Radius 2/3.

Gruß lul

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Also 1/e^(it)= e^(-it)

Aber mit 1/(1+e^(it)) !!!!

Ich verstehe die Lösung nicht.

Sorry ich bin noch am üben und versuche es zu verstehen.

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Ich habe vergessen, dass t im Berreich [0;2pi] ist.

Answer 2

z(t)=1+2e^(jt)

z^quer(t)=1+2e^(-jt)

f(z) = 1/(1+2e^(jt)) )

= (1+2e^(-jt)) / (1+2e^(jt))(1+2e^(-jt))

= (1+2e^(-jt)) / (1+2e^(jt) + 2 e^(-jt) + 4))

=  (1+2e^(-jt)) / (1+2(cos(t) + jsin(t) + cos(-t) + jsin(-t)) + 4))

=  (1+2e^(-jt)) / (1+2(cos(t) + jsin(t) + cos(t) - jsin(t)) + 4))

=  (1+2e^(-jt)) / (5+2(2cos(t))

=  (1+2e^(-jt)) / (5+4cos(t))

Hier kannst du gut Real- und Imaginärteil trennen.

Der Aufwand scheint mir aber zu gross. Du brauchst doch nur den Mittelpunkt und den Radius des Bildkreises. D.h. zwei Bildpunkte ausrechnen und Symmetrie zur reellen Achse ausnützen.

Comments

Ich habe vergessen, dass t im Bereich [0;2pi] ist.

Das bedeutet, dass z(t)=1+2e^(jt) einen vollständigen Kreis beschreibt. Ein einziger Punkt ist sogar doppelt vorhanden.

f(z) = 1/(1+2e^(jt)) )

f(1+2e^(j*0)) = 1/(1+2e^(j*0)) ) = 1/(1+ 2*1) = 1/3 liegt auf dem gesuchten Kreis.

Weitere Werte für t einsetzen.

Bsp. t=π. f(1+2e^(j*π)) = 1/(1+2e^(j*π)) ) = 1/(1+ 2*(-1)) = -1 sollte auch auf diesem Kreis liegen. Das stimmt, da (1+2e^(j*π) = 1 - 2 = -1 schon auf dem Fixpunktekreis der betrachteten Abbildung liegt.

Aus Symmetriegründen ergibt sich nun ein Kreis mit Mittelpunkt bei z= -1/3 und Radius r = 2/3.

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Danke für deine Hilfe, es hat mich weiter geholfen.

ich habe es versucht mit der Formel (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2 zu rechnen, aber damit komme ich nicht weiter.

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Hallo

das kannst du auch nicht. hattet ihr nicht schon gezeigt , dass 1/z kreise in Kreise abbildet, oder dass 1/z eine Spiegelung am Einheitskreis (+Spiegelung an einer Achse) ist?

nochmal; du brauchst nur 2 Punkte abbilden um den Kreis zu finden, aber die gefundene Parameterdarstellung als Kreis zu sehn geht nicht so einfach da er nicht gleichförmig durchlaufen wird.

ledum

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Hi,

ich habe es verstanden, Danke nochmal .