Alle Lösungen der Betragsgleichung 2- |-1/2*(x+1)| = 3*x+1 bestimmen

Question

Aufgabe:

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Wobei ich die b) sogar gelöst bekommen habe, komme ich bei der a) nicht weiter.

Wir sollen alle Lösungen für x für folgende Gleichung lösen.

2- |-1/2*(x+1)| = 3*x+1

Problem/Ansatz:

wir sollten das mit der Fallunterscheidung machen.

Im Fall 1 habe ich x<=-1 aber dann als Lösung für x=1/7. Also keine Lösung da Widerspruch.

Und im 2. Fall habe ich x>-1 und als Lsg. für x=3/5. Schön und gut, wenn ich es aber einsetze kommt nichts richtiges raus.

Bin schon ab verzweifelt. Ich vermute mal ich mache bei der Umformung des Betrages irgendwas falsch.

Comments

Deine Lösungen ergeben sich in den Fällen gerade umgekehrt. Deshalb ist nur x=1/7 Lösung.

Answer 1

|-1/2*(x+1)|

1.Fall : dafür gilt
term ≥ 0 :
-1/2*(x+1) ≥ 0 | * -2
( x + 1 ) ≤ 0
x ≤ -1 : -1/2*(x+1)

2- (-1/2*(x+1) ) = 3*x+1
1/2 * (x+1)  = 3*x-1
x + 1 = 6x - 2
-5x = -3
x = 3/5
( x ≤ -1 ) und ( x = 3/5 )
keine Lösung

2.Fall
term < 0 : dafür gilt
( -1/2*(x+1) )*-1
1/2*(x+1) > 0
( x + 1 ) > 0
x > -1 : 1/2*(x+1)

2- (1/2*(x+1) ) = 3*x+1
-1/2*(x+1)  = 3*x-1 | * -2
x + 1 = -6x + 2
7x = 1
x = 1/7

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > -1 ) und ( x = 1/7 )
x = 1/7

Comments

hätte man im 2. Fall genau so *(-2) rechnen können im ersten Schritt ?

---

Und vielen, vielen Dank für Ihre Hilfe !

---

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

| -1/2*(x+1) | = 0
-1/2*(x+1)  = 0 | * -2
( x + 1 ) = 0
x = -1

für x ≥ -1 gilt
term > 0 : | -1/2*(x+1) |  = -1/2*(x+1)

Für x < -1 gilt
term < 0 : | -1/2*(x+1) | =  -1/2*(x+1) * (-1)

Eingesetzt
für x ≥ -1 gilt
2- (-1/2*(x+1) ) = 3*x+1

Für x < -1 gilt
2- (-1/2*(x+1) ) * (-1) = 3*x+1

Answer 2

Falls keine Fallunterscheidung verlangt ist:

2- |-0,5*(x+1)| = 3*x+1

|-0,5*(x+1)| =1- 3*x

\( \sqrt{[-\frac{1}{2}(x+1)]^2} \) =1- 3*x

\( \sqrt{[-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}]^2} \) =1- 3*x|^2

(-0,5x-0,5)^2-(1- 3*x)^2=0

[-0,5x-0,5+1- 3*x]*[-0,5x-0,5-1+ 3*x]=0

1.)  -3,5x+0,5=0       x ≈ 0,143         Kontrolle: 2- |-0,5*(0,143  +1)| = 3*0,143  +1     stimmt

2.)  2,5x-1,5=0         x ≈ 0,6             Kontrolle:  2- |-0,5*(0,6 +1)| =  3*0,6  +1  stimmt nicht