Sind x und y ungerade natürliche Zahlen, dann kann x^2+y^2 keine Quadratzahl sein mit Kontrapositionsbeweis?

Question

Aufgabe:

Sind x und y ungerade natürliche Zahlen, dann kann x^2+y^2 keine Quadratzahl.

Problem/Ansatz:

ich bräuchte Hilfe bei der obigen Aufgabenstellung. Nachdem ich Antworten zu ähnlichen Problemen gelesen habe, bin ich aber zu keinem richtigen Entschluss gekommen. Daher wäre ich für eine hilfreiche Antwort umso dankbarer.

Answer 1

Ist z ungerade (also z = 2n + 1), dann ist z² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 4(n² + n) + 1 ≡ 1 mod 4.

Ist z gerade (also z = 2n), dann ist z² = (2n)² = 4n²  ≡ 0 mod 4.

Im Gegensatz dazu ist x² + y² = (2p+1)² + (2q + 1)² = 4(p² + p + q² + q) + 2 ≡ 2 mod 4.