Zeige, dass für natürliche Zahlen a und b stets a+b=b+a und a*b=b*a gilt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für natürliche Zahlen a und b stets a + b = b + a
und a * b = b * a gilt. Benutzen Sie dabei die Definition von natürlichen Zahlen als Äquivalenzklassen.

Problem/Ansatz:

Hi, ich bin erst im ersten Semester und verstehe leider die Aufgabe nicht.

Ich weiß was die natürlichen zahlen sind und verstehe auch was eine Äquivalenzklasse ist (denke ich mindestens). Doch leider hab ich echt kein Plan wie ich es lösen kann.

Comments

Benutzen Sie dabei die Definition von natürlichen Zahlen als Äquivalenzklassen.

Gib diese Definition hier an. Und die Definition von + und * auch.

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sry, aber ich weiß nicht was du meinst.

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Ihr müsst die natürlichen Zahlen definiert haben sowie die Addition und Multiplikation. Ansonsten kannst du die Aufgabe nicht lösen.

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Ich kenne drei Definitionen der natürlichen Zahlen:

1. Die Menge der natürlichen Zahlen ist die Menge, die die Peano-Axiome erfüllt.
   
2. Die Menge der natürlichen Zahlen ist der Duchschnitt aller induktiven Teilmengen der reellen Zahlen.
   
3. Die Menge der natürlichen Zahlen ist der Duchschnitt aller Mengen A, die

           ∅ ∈ A ∧ ∀ a ∈ A: a ∪ {a} ∈ A

   erfüllen.

Keine dieser Definitionen verwendet Äquivalenzklassen.Deshalb weiß ich nicht welche Definition gemeint ist.

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Also wir haben zu Add und Mult folgendes aufgeschrieben.

(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d) Mult

(a/b)+(c/d)=(ad+bc)/(bd) Add

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und dann haben wir was zu rationalen zahlen Aufgeschrieben

" Rationaalen zahlen sind Äquivalenzklassen, wähle (a/b),(c/d) aus der Klasse ->bilde die Klasse des Ergebnisses"

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Hallo

steht in der Aufgabe wörtlich "natürliche Zahlen" denn die als Äquivalenzklassen zu definieren scheint mir nicht plausibel, von was sollen denn das Äquivalenzklassen sein. dagegen kann man die ganzen Zahlen  oder auch die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen konstruieren. Also poste die exakte Aufgabe, wie sie dir vorliegt.

Gruß lul

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Die Aufgabe hab ich rauskopiert, also müsste es schon mit natürliche Zahlen richtig sein. Aber trotzdem danke.

Answer 1

Rationaalen zahlen sind Äquivalenzklassen

Die natürlichen Zahlen, die zum Beispiel mittels Peano-Axiomen definiert wurden, können in diese rationalen Zahlen eingebettet werden indem jedes n ∈ ℕ auf die Äquivalenzklasse (n/1) abgebildet wird.

Also wir haben zu Add und Mult folgendes aufgeschrieben.

(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d) Mult

(a/b)+(c/d)=(ad+bc)/(bd) Add

Zeige damit, dass

        (n/1) + (m/1) = (m/1) + (n/1)

und

        (n/1) * (m/1) = (m/1) * (n/1)

ist.