Stochastik: 20 Plätze und 3 Parteien setzen

Question

Aufgabe:

An einem Runden Tisch sind 20 Plätze, sodass Platz 1 und 20 benachbart sind. Die Vertreter aus 3 Parteien (5 aus Linke, 8 aus SPD und 7 aus CDU) werden rein zufällig platziert.

(i) Wie wahrscheinlich ist es, dass Platz 6 und 7 mit Vertretern aus derselben Partei besetzt werden?

(ii) Was ist die erwartete Anzahl von Paaren benachbarter Plaetze, auf denen Vertreter aus derselbenPartei sitzen?

(iii) Was ist die erwartete Anzahl von Paaren benachbarter Plaetze, auf denen Vertreter aus verschiedenen Parteien sitzen?

Problem/Ansatz:

Bei der i) hab ich angefangen die Wahrscheinlichkeit für das Treffen des 6ten und 7ten Platzes ausgerechnet. Das müssten ja (2/20)*(1/19) sein. Nun weiß ich nicht genau wie ich das in Verbindung mit den Parteien machen soll, die Wahrscheinlichkeiten pro Partei sind ja anders und müssen am Ende addiert werden.

Bei der ii) war, dass ich mir überlegt habe (pro Partei), dass wo sich der Erste aus den Linken hinsetzt egal ist (zb auf Platz 3) sprich Wahrscheinlichkeit ist 20/20. der Nächste wär dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/19 neber Platz 3 (Platz 2 und 4), dann der Dritte 2/18, usw. Aber das ist ja nur für den Fall, dass die sich direkt neben den vorherigen setzen. Um das für jeden Fall (der 3te setzt sich zb ganz woanders hin) so aufzuschreiben scheint mir nicht die Lösung. Deswegen bräuchte ich Hilfe.

Bei der iii) bin ich nicht gekommen, aber denke mir das kann man mit der Linearität des Erwartungswertes machen.

MfG

Comments

Bei der i) hab ich angefangen die Wahrscheinlichkeit für das Treffen des 6ten und 7ten Platzes ausgerechnet. Das müssten ja (2/20)*(1/19) sein.

Könntest du das vielleicht etwas begründen? Ich denke du berechnest hier die Wahrscheinlichkeit das 2 ganz bestimmte Personen auf den Plätzen 6 und 7 Sitzen.

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Ich hab gedacht, ich rechne damit aus, dass man genau 2 spezielle ( also Personen aus derselben Partei) auf diese 2 Plätze(6 und 7) setzt. Nur müsste man doch jetzt nur dieses Ergebnis irgendwie verbinden mit den Parteien oder?

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Das könnte man machen ist aber meiner Meinung nach unpraktikabel.

Was kann man mit 5/20 * 4/19 berechnen ?

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Intuitiv würd ich sagen, man berechnet damit nur die Wahrscheinlichkeit, wo die aus der Linken sitzen bzw. sitzen könnenvon möglichen 20 Plätzen auf 5 Personen verteilt.

Mir fehlt irgendwie dieser Knackpunkt, dass genau die Plätze 6 und 7 einbezogen werden, bzw. dass ich mir das vorstellen kann.

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Stell dir vor die Stühle sind nummieriert und du hast 20 stehende Personen die du verteilen sollst. Keiner sagt das du mit Stuhl 1 beginnen musst oder?

Also wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das du auf den Ersten Platz mit der Nummer 6 einen der linken Platzierst, wenn du die Person rein Zufällig auswählst?

Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das du die Zweite Person, die du auf Platz 7 setzt ebenfalls von den Linken stammt.

Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit das 2 Personen der Linken auf Platz 6 und 7 sitzen.

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Dann ist es doch dieses 5/20 * 4/19 oder?

Aber wenn dann zum Beispiel einer von der CDU platziert wird, nehmen wir mal an, die Erste Person (Linke) geht auf Platz 6, dann die 2te Person (CDU) geht auf Platz 8 oder so. Dann ist doch die Wahrscheinlichkeit nicht mehr 4/19 sonder 4/18. Aber wie bringe ich das knackig in eine Rechnung, oder denk ich da zu kompliziert?

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Du denkst da zu kompliziert. Du brauchst dich ja nur um die Plätze 6 und 7 kümmern. Wie du den Rest nachher auf die Plätze 1-5 und 8-20 verteilst spielt ja für die Wahrscheinlichkeit das 2 Personen der gleichen Partei auf den Plätzen 6 und 7 sitzen keine Rolle mehr.

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Achso, ok, dann hab ich wohl unnötig zu viel gedacht.

Dann müsste ja (5/20 * 4/19) + (8/20 * 7/19) + (7/20 * 6/19) stimmen?

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Genau. So sollte das richtig sein.

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Ah ok danke. Dann hab ich schonmal die i) :D