Aloha :)
Die Oberfläche der Dose (bestehend aus Boden, Deckel und Mantel) beträgt:$$2\pi r^2+2\pi rh=1200\quad\Leftrightarrow\quad h=\frac{1200-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{600}{\pi r}-r$$Das Volumen dieser Dose beträgt:$$V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot\left(\frac{600}{\pi r}-r\right)=600\,r-\pi r^3$$Kandidaten für den Radius \(r\), der das größte Volumen der Dose verspricht, finden wir, indem wir die Ableitung gleich \(0\) setzen:$$V'(r)=600-3\pi r^2\stackrel{!}{=}0\;\;\Leftrightarrow\;\;\pi r^2=200\;\;\Leftrightarrow\;\;r^2=\frac{200}{\pi}\;\;\Leftrightarrow\;\;r\approx7,98$$Die zweite Ableitung \(V''(r)=-6\pi r\) ist immer \(<0\), weil der Radius \(r\) nur positiv sein kann. Also liegt tatsächlich ein Maximum vor.
Der gesuchte Durchmesser beträgt also \(d=2r\approx15,96\)cm.
