Zeigen, dass Grenzwert nicht existiert.

Question

Aufgabe:

Ich betrachte die Funktion  \(f: \mathbb{R} \setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \frac{x}{|x|} \) und möchte mit der ε-δ-Definition zeigen, dass der Grenzwert \( \lim_{x \to 0} f(x)\) nicht existiert.

Problem/Ansatz:

Dazu nehme ich an, dass er existiert. Sei also \( a \in \mathbb{R} \) der Grenzwert von \( \lim_{x \to 0} f(x)\). Dann gilt:

\(\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \ \forall x\in \mathbb{R} \setminus\{0\}: 0<|x-0|<\delta \Longrightarrow \Big|\frac{x}{|x|}-a\Big|<\epsilon\).

Aber wie kann ich denn jetzt δ bzw. ε so wählen, um einen Widerspruch zu erzeugen?

Answer 1

Hallo

warum nicht direkt: für alle x<0 ist f(x)=-1 für alle x>0 ist f(x)=+1

d.h der linksseitige GW ist -1, der Rechtzeitige GW ist +1, d.h. die Funktion ist bei x=0 nicht stetig und auch nicht stetig ergänzbar.

mit ε und δ  1. a=1 dann x<0, |x|=δ,  |f(x)-1|=2 entsprechend für x>0 und a=-1

Gruß lul

Comments

der linksseitige GW ist -1, der Rechtzeitige GW ist +1, d.h. die Funktion ist bei x=0 nicht stetig und auch nicht stetig ergänzbar.

Ich war halt sehr daran interessiert diese Erkenntnis mal außer Acht zu lassen und es nur mit der Definition zu versuchen.

Answer 2

Bei jedem Wert von Delta gibt es sowohl positive x-Werte, also auch negative, für die

| x - 0 | < δ gilt, also  kurz | x | < δ

Sei nun x so ein positiver Wert, dann gilt  x / |x| = 1, also müsste für ein eventuelles a gelten

| 1-a| < ε.   Ist nun x' ein negativer Wert aus der Delta-Umgebung, dann würde gelten

x' / |x'| = - 1, also    | -1-a| < ε.

Ist nun etwa  ε=0,1 müsste  zum einen a zwischen -1,1 und -0,9 liegen und gleichzeitig

zwischen 0,9 und 1,1.  Also gibt es so ein a nicht.