Aloha :)
Wir haben \(n=500\) Neugeborene. Die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen beträgt \(p=0,514\). Damit können wir den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) berechnen:$$\mu=n\cdot p=500\cdot0,514=257$$$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{500\cdot0,514\cdot0,486}\approx11,1760$$Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den \(n\) Neugeborenen mindestens 251 Jungs sind. Weil die Normalverteilung kontinuierlich ist, es aber nur ganzzahlige Neugeborene gibt, verwenden wir die Stetigkeitskorrektur und fragen nach der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 250,5 Jungs geboren werden:
$$P(X\ge250,5)=1-P(X<250,5)=1-\Phi\left(\frac{250,5-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(-0,5816)$$Die Werte für die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) findet man oft nur für \(z>0\) aufgelistet. Mit \(\Phi(z)+\Phi(-z)=1\) kann man das jedoch umschreiben:$$P(X\ge250,5)=\Phi(0,5816)\approx71,96\%$$
