Alle reellen Zahlen t zu Vektoren bestimmen, die voneinander unabhängig sind

Question

Vorab: Bitte helft mir im "for-dummies"-Style. Sonst verstehe ich immer noch so viel, wie jetzt :D

Aufgabe:

Die Aufgabe ist, dass ich 3 Vektoren habe,  die linear voneinander unabhängig sind.

Nun soll ich alle reellen Zahlen von t ausrechnen.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das nun mit dem GAUSS-Verfahren?

Comments

Dein System

-x - y + 3·z = 0,

x + 2·y + 2·z = 0,

x - 2·y + t·z = 0

hat die einzige Lösung x=0, y=0, z=0 und folglich ist t beliebig.

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Dein System

-x - y + 3·z = 0,

x + 2·y + 2·z = 0,

x - 2·y + t·z = 0

hat die einzige Lösung x=0, y=0, z=0 und folglich ist t beliebig.

Damit hast du ihm wunderbar erklärt, wie das Gauss-Verfahren funktioniert. Zur Erinnerung:

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das nun mit dem GAUSS-Verfahren?

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Zuerst fällt mal auf, dass in der Ausgangsmatrix in der letzen Zeile hinten vor der 0 kein t steht sondern 1 !

@Roland:

hat die einzige Lösung x=0, y=0, z=0 und folglich ist t beliebig

für t = -18 ergeben sich wohl unendlich viele Lösungen

Answer 1

Hallo cassy,

deine ± im Photo kann ich kaum erkennen, deshalb gehe ich mal von deiner korrigierten Ausgangsmatrix aus:

⎡ -1  -1  3  0 ⎤
⎢  1   2  2  0 ⎥
⎣  1  -2  t   0 ⎦

Gauß-Algorithmus:

⎡ -1  -1     3     0 ⎤
⎢  0   1     5      0 ⎥  Z1 + Z2
⎣  0  -3   t + 3   0 ⎦  Z1 + Z3

⎡ -1  -1      3        0 ⎤
⎢  0   1      5        0 ⎥
⎣  0   0    t + 18   0 ⎦ 3*Z2 + Z3

Das LGS hat für t = -18  unendlich viele Lösungen

               →    \(\vec{u},\vec{v}, ,\vec{w} \)   sind linear abhängig

Für t ≠ -18  ergibt sich die eindeutige Lösung x=y=z=0

               →    \(\color{green}{\vec{u},\vec{v}, ,\vec{w}} \)  sind linear unabhängig

Gruß Wolfgang

Comments

Ich danke dir vielmals, hab es so hinbekommen :)

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das freut mich :-)