Ableitungen im Kontext: Steigung des Graphen von f(x)=(x-2)(x+6) in den Schnittpunkten mit der x-Achse.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von f(x)=(x-2)(x+6) in den Schnittpunkten mit der x-Achse.

Problem:

Ich habe leider des öfteren gefehlt, nun fehlen mir daher wichtige Grundkenntnisse, wenn ihr euch die Zeit nehmen würdet, mir das Vorgehen noch einmal leicht zu erklären, wäre das super, aber nicht notwendig (falls ihr keine Zeit/Lust habt). Woher weiß ich zudem an welchen Punkten der Graph die x-Achse schneidet?

Ich freue mich sehr über Hilfe

Answer 1

Woher weiß ich zudem an welchen Punkten der Graph die x-Achse schneidet?

Die x-Achse hat die Gleichung y = 0.

Deshalb kannst du die Nullstellen bei (x-2)(x+6) = 0 ablesen. 

Comments

Okay, also 2 und -6 oder bin ich auf dem Holzweg?

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Richtig: x1 = -6 und x2 = 2 . (oder umgekehrt)

Nun die Funktionsgleichung ausmultiplizieren und dann die erste Ableitung von f(x) ausrechnen.

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Ist f(x) dann 0? Denn wenn ich f(x)=2*(-6) rechne kommt ja = -12 raus, die Ableitung davon ist ja, dass der Summand wegfällt oder?

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Vor dem Einsetzen:

1. Nun die Funktionsgleichung ausmultiplizieren

2. dann die erste Ableitung von f(x) ausrechnen.

Erst danach die Nullstellen einsetzen.

Answer 2

Hallo Maxi,

\(f(x)=(x-2)(x+6)\)

Nullstellen bei \(x_1=2 ; x_2=-6\)

\(f(x)=x^2+4x-12\)

\(f'(x)=2x+4\)

Steigung bei \(x_1=2\):

\(f'(2)=2\cdot 2+4=8\)

Steigung bei \(x_2=-6\):

\(f'(2)=2\cdot (-6)+4=-8\)

Das ist auch anschaulich klar, denn der Funktionsgraph ist eine verschobene Normalparabel, die achsensymmetrisch ist. Deshalb muss die Tangentensteigung bei der einen Nullstelle das Negative der Steigung bei der anderen Nullstelle sein.